名古屋大学 2012年度理系数学第2問解答・解説

問題

$f_{0} (x) = x e^{x}$ として，正の整数 $n$ に対して，

f_{n} (x) = \int_{- x}^{x} f_{n - 1} (t) d t + f^{'}_{n - 1} (x)

により実数 $x$ の関数 $f_{n} (x)$ を定める。

(1) $f_{1} (x)$ を求めよ。

(2) $g (x) = \int_{- x}^{x} (a t + b) e^{t} d t$ とするとき，定積分 $\int_{- c}^{c} g (x) d x$ を求めよ．ただし，実数 $a$ ， $b$ ， $c$ は定数とする。

(3) 正の整数 $n$ に対して， $f_{2 n} (x)$ を求めよ。

出典：名古屋大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)は定義に従って $f_{0}$ の積分と微分を直接計算する。(2)は積分区間が $[- x, x]$ であることから、 $x$ を $- x$ に替えると積分の向きが逆になるので $g$ が奇関数になることを使う。(3)は1回の操作では $e^{x}$ と $e^{- x}$ が混ざるが、2回作用させると $(A x + B) e^{x}$ 型に戻ることを示す。係数 $A_{n}, B_{n}$ の漸化式を作り、 $A_{n}$ は等比、 $B_{n}$ は $3^{n}$ で割って階差に直して解く。

解答

(1)

$f_{0} (x) = x e^{x}$ である。まず $\int t e^{t} d t = (t - 1) e^{t}$ であるから $\int_{- x}^{x} t e^{t} d t = (x - 1) e^{x} - (- x - 1) e^{- x} = (x - 1) e^{x} + (x + 1) e^{- x}$ である。また $f_{0}^{'} (x) = (x + 1) e^{x}$ である。したがって $f_{1} (x) = (x - 1) e^{x} + (x + 1) e^{- x} + (x + 1) e^{x}$ より $f_{1} (x) = 2 x e^{x} + (x + 1) e^{- x}$ である。

(2)

$g (x) = \int_{- x}^{x} (a t + b) e^{t} d t$ である。 $x$ を $- x$ に替えると $g (- x) = \int_{x}^{- x} (a t + b) e^{t} d t = - \int_{- x}^{x} (a t + b) e^{t} d t = - g (x)$ となる。よって $g$ は奇関数である。

したがって、 $c$ の正負にかかわらず対称区間での奇関数の積分は0となり、 $\int_{- c}^{c} g (x) d x = 0$ である。

(3)

次の操作を $T$ と書くことにする。 $T (F) (x) = \int_{- x}^{x} F (t) d t + F^{'} (x)$ まず $F (x) = (A x + B) e^{x}$ とおく。このとき $\int_{- x}^{x} (A t + B) e^{t} d t = (A x - A + B) e^{x} + (A x + A - B) e^{- x}$ であり、 $F^{'} (x) = (A x + A + B) e^{x}$ である。したがって $T (F) (x) = 2 (A x + B) e^{x} + (A x + A - B) e^{- x}$ となる。

さらに $G (x) = T (F) (x)$ とおく。上の式を用いて計算すると $\int_{- x}^{x} G (t) d t = (A x + B) e^{x} + (A x - B) e^{- x}$ であり、 $G^{'} (x) = 2 (A x + A + B) e^{x} + (- A x + B) e^{- x}$ である。これらを足すと $e^{- x}$ の項が消えて $T^{2} (F) (x) = (3 A x + 2 A + 3 B) e^{x}$ を得る。

ここで $f_{2 n} (x) = (A_{n} x + B_{n}) e^{x}$ とおく。 $f_{0} (x) = x e^{x}$ だから $A_{0} = 1, B_{0} = 0$ である。また上の $T^{2}$ の式より $A_{n + 1} = 3 A_{n}, B_{n + 1} = 2 A_{n} + 3 B_{n}$ である。したがって $A_{n} = 3^{n}$ である。

次に $B_{n}$ を求める。 $A_{n} = 3^{n}$ を代入すると $B_{n + 1} = 2 \cdot 3^{n} + 3 B_{n}$ である。両辺を $3^{n + 1}$ で割ると $\frac{B _{n + 1}}{3 ^{n + 1}} - \frac{B _{n}}{3 ^{n}} = \frac{2}{3}$ である。 $B_{0} = 0$ から和をとって $\frac{B _{n}}{3 ^{n}} = \frac{2 n}{3}$ となり、 $B_{n} = 2 n 3^{n - 1}$ を得る。

以上より、正の整数 $n$ に対して $f_{2 n} (x) = 3^{n - 1} (3 x + 2 n) e^{x}$ である。

名古屋大学 2012年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2012年度
理系数学第2問