名古屋大学 2012年度理系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を正の定数とし， $x y$ 平面上の曲線 $C$ の方程式を $y = x^{3} - a^{2} x$ とする。

(1) $C$ 上の点 $A (t, t^{3} - a^{2} t)$ における $C$ の接線を $l$ とする。 $l$ と $C$ で囲まれた図形の面積 $S (t)$ を求めよ。ただし， $t$ は0でないとする。

(2) $b$ を実数とする。 $C$ の接線のうち $x y$ 平面上の点 $B (2 a, b)$ を通るものの本数を求めよ。

(3) $C$ の接線のうち点 $B (2 a, b)$ を通るものが2本のみの場合を考え，それらの接線を $l_{1}$ ， $l_{2}$ とする。ただし， $l_{1}$ と $l_{2}$ はどちらも原点 $(0, 0)$ を通らないとする。 $l_{1}$ と $C$ で囲まれた図形の面積を $S_{1}$ とし， $l_{2}$ と $C$ で囲まれた図形の面積を $S_{2}$ とする。 $S_{1} ≧ S_{2}$ として， $\frac{S _{1}}{S _{2}}$ の値を求めよ。

出典：名古屋大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

接点を $t$ として接線を作り、曲線との差を因数分解する。3次曲線と接線は接点で重なって接するため、差は $(x - t)^{2}$ を因数にもつ。もう一つの交点 $x = - 2 t$ まで積分すれば、面積は $t^{4}$ に比例する。(2)は接点を $u$ とした接線が $B (2 a, b)$ を通る条件を作り、 $u / a$ で無次元化して3次関数の値域と交点数を調べる。(3)は接線が2本だけになる境界値のうち、原点を通る接線を含む場合を除き、残った2接点の $t^{4}$ の比から面積比を出す。

解答

(1)

曲線 $y = x^{3} - a^{2} x$ の導関数は $y^{'} = 3 x^{2} - a^{2}$ である。したがって $C$ 上の点 $A (t, t^{3} - a^{2} t)$ における接線 $l$ は $y - (t^{3} - a^{2} t) = (3 t^{2} - a^{2}) (x - t)$ であり、整理して $y = (3 t^{2} - a^{2}) x - 2 t^{3}$ である。

曲線と接線の差をとると $x^{3} - a^{2} x - {(3 t^{2} - a^{2}) x - 2 t^{3}} = x^{3} - 3 t^{2} x + 2 t^{3}$ である。右辺は $x = t$ を重解にもつので $x^{3} - 3 t^{2} x + 2 t^{3} = (x - t)^{2} (x + 2 t)$ と因数分解できる。よって接点以外の交点は $x = - 2 t$ である。

まず $t > 0$ とする。このとき区間 $[- 2 t, t]$ では $x + 2 t ≧ 0$ であり、曲線が接線より上にある。したがって面積は $S (t) = \int_{- 2 t}^{t} (x - t)^{2} (x + 2 t) d x$ である。 $x = t u$ とおくと $S (t) = t^{4} \int_{- 2}^{1} (u - 1)^{2} (u + 2) d u$ であり、

\int_{- 2}^{1} (u - 1)^{2} (u + 2) d u = \int_{- 2}^{1} (u^{3} - 3 u + 2) d u = \frac{27}{4}

である。よって $S (t) = \frac{27}{4} t^{4}$ である。 $t < 0$ の場合は積分区間の左右が入れ替わり、曲線と接線の上下も逆になるが、面積は絶対値をとるので同じ式になる。したがって $S (t) = \frac{27}{4} t^{4}$ である。

(2)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。上で求めた接線が点 $B (2 a, b)$ を通る条件は $b = (3 t^{2} - a^{2}) 2 a - 2 t^{3}$ である。すなわち $b = - 2 t^{3} + 6 a t^{2} - 2 a^{3}$ である。

ここで $u = \frac{t}{a}, c = \frac{b}{a ^{3}}$ とおく。 $a > 0$ なので $t$ と $u$ は1対1に対応する。条件は $c = - 2 u^{3} + 6 u^{2} - 2$ となる。右辺を $ϕ (u) = - 2 u^{3} + 6 u^{2} - 2$ とおくと $ϕ^{'} (u) = - 6 u^{2} + 12 u = - 6 u (u - 2)$ である。したがって $ϕ$ は $(- \infty, 0)$ で減少、 $(0, 2)$ で増加、 $(2, \infty)$ で減少する。また $ϕ (0) = - 2, ϕ (2) = 6$ であり、

u \to - \infty lim ϕ (u) = \infty, u \to \infty lim ϕ (u) = - \infty

である。

よって水平線 $y = c$ との交点数を数えれば、接線の本数は

⎩ ⎨ ⎧ 12321 (b < - 2 a^{3}), (b = - 2 a^{3}), (- 2 a^{3} < b < 6 a^{3}), (b = 6 a^{3}), (b > 6 a^{3})

である。

(3)

接線が2本のみになるのは、(2)より $b = - 2 a^{3} または b = 6 a^{3}$ の場合である。

まず $b = - 2 a^{3}$ の場合を考える。このとき $c = - 2$ であり、方程式 $- 2 u^{3} + 6 u^{2} - 2 = - 2$ は $- 2 u^{2} (u - 3) = 0$ となる。したがって接点は $u = 0$ と $u = 3$ に対応する。このうち $u = 0$ 、すなわち $t = 0$ の接線は $y = - a^{2} x$ であり、原点を通る。これは問題の条件から除かれる。

次に $b = 6 a^{3}$ の場合を考える。このとき $c = 6$ であり、方程式 $- 2 u^{3} + 6 u^{2} - 2 = 6$ は $- 2 (u - 2)^{2} (u + 1) = 0$ となる。したがって異なる接点は $u = - 1, u = 2$ であり、すなわち $t = - a, t = 2 a$ である。どちらも $t \neq = 0$ なので、それぞれの接線は原点を通らない。

(1)より、接線と曲線で囲まれる面積は $(27/4) t^{4}$ である。したがって2つの面積は比例定数を除いて $(- a)^{4}, (2 a)^{4}$ に比例する。大きい方を $S_{1}$ 、小さい方を $S_{2}$ とすれば $\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{( 2 a ) ^{4}}{a ^{4}} = 16$ である。よって $\frac{S _{1}}{S _{2}} = 16$ である。

名古屋大学 2012年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2012年度
理系数学第1問