問題
，はを満たす整数とし，との2次方程式，がそれぞれ整数解をもつとする．
(1) とするとき，条件を満たす整数をすべて求めよ．
(2) とするとき，条件を満たす整数の組をすべて求めよ．
出典：名古屋大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
係数 が正なので、各2次方程式が整数解をもつなら、その解はともに負の整数である。そこで の解を 、 の解を とおき、解と係数の関係を使う。(1) は から 、すなわち に帰着する。(2) は より となるため、 から の一方が1と分かる。残りを第2の方程式に代入して に落とす。
解答
(1)
まず、 が整数解をもつとする。 なので、2つの整数解の和は 、積は である。したがって2つの整数解はいずれも負である。
そこで2つの整数解を とおく。ただし は正の整数である。解と係数の関係より である。 のとき である。これを変形すると すなわち である。 は正の整数なので であり、 である。したがって である。
実際、 のとき であり、もう一方の方程式も同じなので整数解をもつ。よって である。
(2)
とする。上と同じく、 の解を とおけば である。 より であるから である。すなわち である。 は正の整数なので は0以上の整数である。したがって であり、 の少なくとも一方は1である。対称性より としてよい。すると である。
次に、 の整数解を とおく。ただし は正の整数である。解と係数の関係より である。したがって である。 は正の整数だから、 である。よって となり、 である。したがって である。
実際、 のとき であり、 なので条件を満たす。よって である。