名古屋大学 2011年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に3点 $O (0, 0)$ ， $A (1, 0)$ ， $B (0, 1)$ がある．

(1) $a > 0$ とする． $O P : A P = 1 : a$ を満たす点 $P$ の軌跡を求めよ．

(2) $a > 0$ ， $b > 0$ とする． $O P : A P : B P = 1 : a : b$ を満たす点 $P$ が存在するための $a$ ， $b$ に対する条件を求め， $ab$ 平面上に図示せよ．

出典：名古屋大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

文系第3問と同じく $P (x, y)$ とおき、距離比を2乗して処理する。(1) は $A P = a O P$ からアポロニウスの円を求め、 $a = 1$ だけ垂直二等分線になることを分ける。(2) は $u = O P^{2}$ を導入し、 $A P = a O P$ 、 $B P = b O P$ から $x, y$ を $u$ で表す。これを $x^{2} + y^{2} = u$ に代入して得られる2次方程式が正の解をもつ条件を判別式で整理する。理系版では $a > 0, b > 0$ 全体なので、最終条件は $∣ a - b ∣ ≦ 2 ≦ a + b$ となる。

解答

(1)

$P (x, y)$ とおく。条件 $O P : A P = 1 : a$ は $A P = a O P$ である。両辺を2乗すると $(x - 1)^{2} + y^{2} = a^{2} (x^{2} + y^{2})$ である。整理して $(1 - a^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 2 x + 1 = 0$ を得る。 $a = 1$ のとき、この式は $- 2 x + 1 = 0$ となる。したがって軌跡は $x = \frac{1}{2}$ である。 $a \neq = 1$ のときは $x^{2} + y^{2} + \frac{2 x}{a ^{2} - 1} - \frac{1}{a ^{2} - 1} = 0$ となる。平方完成して $(x + \frac{1}{a ^{2} - 1})^{2} + y^{2} = \frac{a ^{2}}{( a ^{2} - 1 ) ^{2}}$ である。よって軌跡は

中心 (- \frac{1}{a ^{2} - 1}, 0), 半径 \frac{a}{∣ a ^{2} - 1∣} の円

である。

(2)

$u = O P^{2} = x^{2} + y^{2}$ とおく。条件は $A P = a O P, B P = b O P$ であるから $(x - 1)^{2} + y^{2} = a^{2} u, x^{2} + (y - 1)^{2} = b^{2} u$ である。これらを整理すると $2 x - 1 = (1 - a^{2}) u, 2 y - 1 = (1 - b^{2}) u$ である。したがって $x = \frac{1 + ( 1 - a ^{2} ) u}{2}, y = \frac{1 + ( 1 - b ^{2} ) u}{2}$ である。

これを $x^{2} + y^{2} = u$ に代入すると ${(1 - a^{2})^{2} + (1 - b^{2})^{2}} u^{2} - 2 (a^{2} + b^{2}) u + 2 = 0$ を得る。この方程式が正の実数解をもつことが、点 $P$ が存在するための条件である。なお $a = b = 1$ のときは2次の係数が0になり、式は $- 4 u + 2 = 0$ となって正の解 $u = 1/2$ をもつ。以下ではこの場合も含めて条件を整理する。

判別式を整理すると $(a^{2} + b^{2})^{2} - 2 {(1 - a^{2})^{2} + (1 - b^{2})^{2}} ≧ 0$ であり、左辺は ${(a + b)^{2} - 2} {2 - (a - b)^{2}}$ と因数分解できる。 $a > 0, b > 0$ であるから、正の解の存在条件は $(a + b)^{2} ≧ 2, (a - b)^{2} ≦ 2$ である。すなわち $∣ a - b ∣ ≦ 2 ≦ a + b$ である。 $ab$ 平面では第1象限 $a > 0, b > 0$ の中で、直線 $a + b = 2$ の上側、かつ2直線 $a - b = 2$ 、 $b - a = 2$ にはさまれる領域である。境界は条件を満たすので含む。

名古屋大学 2011年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 2011年度
理系数学第3問