名古屋大学 2011年度理系数学第1問解答・解説

問題

$- \frac{1}{4} < s < \frac{1}{3}$ とする． $x y z$ 空間内の平面 $z = 0$ の上に長方形

R_{s} = {(x, y, 0) ∣1 ≦ x ≦ 2 + 4 s, 1 ≦ y ≦ 2 - 3 s}

がある．長方形 $R_{s}$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体を $K_{s}$ とする．

(1) 立体 $K_{s}$ の体積 $V (s)$ が最大となるときの $s$ の値，およびそのときの $V (s)$ の値を求めよ．

(2) $s$ を(1)で求めた値とする．このときの立体 $K_{s}$ を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体 $L$ の体積を求めよ．

出典：名古屋大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1) は、長方形を $x$ 軸まわりに回転すると、 $x$ 方向の長さ $1 + 4 s$ と、内半径1・外半径 $2 - 3 s$ の円環断面積の積で体積が出る。 $- 1/4 < s < 1/3$ により長さも外半径も正であることを確認し、 $s$ の3次式を微分して最大値を求める。(2) は (1) で $s = 0$ と分かった後、 $K_{0}$ を $1 ≦ x ≦ 2$ 、 $1 ≦ y^{2} + z^{2} ≦ 2$ と表す。さらに $y$ 軸まわりに回転した後の、固定した $y$ における断面を $x z$ 平面内の円環として見て、 $∣ y ∣ ≦ 1$ と $1 ≦ ∣ y ∣ ≦ 2$ に分けて積分する。

解答

(1)

長方形 $R_{s}$ の $x$ 方向の長さは $(2 + 4 s) - 1 = 1 + 4 s$ である。また、 $x$ を固定した断面を $x$ 軸のまわりに回転すると、内半径 $1$ 、外半径 $2 - 3 s$ の円環ができる。条件 $- 1/4 < s < 1/3$ より $1 + 4 s > 0, 2 - 3 s > 1$ である。

したがって体積は $V (s) = π (1 + 4 s) {(2 - 3 s)^{2} - 1^{2}}$ である。整理すると $(2 - 3 s)^{2} - 1 = 4 - 12 s + 9 s^{2} - 1 = 3 - 12 s + 9 s^{2}$ なので $V (s) = π (1 + 4 s) (3 - 12 s + 9 s^{2})$ である。展開して $V (s) = π (36 s^{3} - 39 s^{2} + 3)$ であるから $V^{'} (s) = π (108 s^{2} - 78 s) = 6 π s (18 s - 13)$ となる。

区間 $- 1/4 < s < 1/3$ に入る臨界点は $s = 0$ だけである。 $s < 0$ では $s < 0$ 、 $18 s - 13 < 0$ なので $V^{'} (s) > 0$ 、 $0 < s < 1/3$ では $s > 0$ 、 $18 s - 13 < 0$ なので $V^{'} (s) < 0$ である。よって $V (s)$ は $s = 0$ で最大となる。

このとき $V (0) = π \cdot 1 \cdot (4 - 1) = 3 π$ である。したがって $s = 0, V (0) = 3 π$ である。

(2)

(1) より $s = 0$ とする。このとき $K_{0}$ は $1 ≦ x ≦ 2, 1 ≦ y^{2} + z^{2} ≦ 2$ を満たす点全体である。

この立体を $y$ 軸のまわりに回転した立体 $L$ の体積を、 $y$ を固定した断面で求める。固定した $y$ に対し、回転後の断面は $x z$ 平面内で原点を中心とする円環または円板になる。半径の2乗は $x^{2} + z^{2}$ である。

まず $∣ y ∣ ≦ 1$ のとき、条件 $1 ≦ y^{2} + z^{2} ≦ 2$ は $1 - y^{2} ≦ z^{2} ≦ 4 - y^{2}$ を意味する。さらに $1 ≦ x ≦ 2$ なので、回転後の半径の2乗の最小値は $1^{2} + (1 - y^{2}) = 2 - y^{2}$ であり、最大値は $2^{2} + (4 - y^{2}) = 8 - y^{2}$ である。したがって断面積は $π {(8 - y^{2}) - (2 - y^{2})} = 6 π$ である。

次に $1 ≦ ∣ y ∣ ≦ 2$ のとき、 $y^{2} + z^{2} ≧ 1$ は自動的に満たされ、 $0 ≦ z^{2} ≦ 4 - y^{2}$ である。このとき半径の2乗の最小値は $1^{2} + 0 = 1$ であり、最大値は $2^{2} + (4 - y^{2}) = 8 - y^{2}$ である。したがって断面積は $π {(8 - y^{2}) - 1} = π (7 - y^{2})$ である。 $∣ y ∣ > 2$ では断面は存在しない。

よって体積は $\int_{- 1}^{1} 6 π d y + 2 \int_{1}^{2} π (7 - y^{2}) d y$ である。計算すると $\int_{- 1}^{1} 6 π d y = 12 π$ であり、

2 \int_{1}^{2} π (7 - y^{2}) d y = 2 π [7 y - \frac{y ^{3}}{3}]_{1}^{2} = 2 π (\frac{34}{3} - \frac{20}{3}) = \frac{28 π}{3}

である。したがって求める体積は $12 π + \frac{28 π}{3} = \frac{64 π}{3}$ である。

名古屋大学 2011年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 2011年度
理系数学第1問