問題
平面上に3点，，がある。
(1) とする。を満たす点の軌跡を求めよ。
(2) とする。を満たす点が存在するための，に対する条件を求め，平面上に図示せよ。
出典：名古屋大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
とおき、距離比を2乗して方程式に直す。(1) は を整理し、 の直線の場合と の円の場合を分ける。(2) は とおき、、 から を で表す。これを に代入して の2次方程式を得る。正の解が存在する条件を判別式で整理すると、 と が出る。文系版では の範囲にこの条件を重ねて図示する。
解答
(1)
とおく。条件 は と同値である。両辺を2乗すると である。整理して を得る。 のときは だから、軌跡は である。これは線分 の垂直二等分線である。 のときは、上の式を で割って平方完成する。すなわち であり、
となる。したがって軌跡は
である。
(2)
とおく。条件 は であるから、2乗して となる。これらを整理すると である。したがって であり、 である。
これを に代入する。すると であり、整理して を得る。
この2次方程式が正の実数解 をもてば、対応する が上の式で定まり、条件を満たす点 が存在する。判別式を調べると が必要十分である。左辺は と因数分解できる。
ここで であるから である。したがって点 が存在するための条件は すなわち である。ただし、問題の仮定 も合わせて満たす必要がある。 平面では、帯状の範囲 の中で、直線 の上側、かつ直線 の上側、すなわち を同時に満たす部分である。境界 、 は含むが、、、 は問題の仮定により含まない。