名古屋大学 2011年度
文系数学 第1問

解答

(1)

$f(x)=x^3-x^2$ とおく。まず $f(x)=x^2(x-1)$ であるから、$x$ 軸との共有点は $x=0,x=1$ である。$x=0$ は重解なので、グラフは原点で $x$ 軸に接する。

次に微分すると $f^{\prime }(x)=3x^2-2x=x(3x-2)$ である。したがって増減は

である。よって $x=0$ で極大値 $f(0)=0$ をとり、$x=2/3$ で極小値 $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{27}-\frac{4}{9}=-\frac{4}{27}$ をとる。また、最高次係数は正なので、$x\to -\infty$ で $f(x)\to -\infty$、$x\to \infty$ で $f(x)\to \infty$ である。

以上より、原点で $x$ 軸に接して極大となり、$(2/3,-4/27)$ で極小となり、$(1,0)$ を通る3次曲線である。

(2)

接点を $(t,f(t))$ とする。この点における接線は $y=f^{\prime }(t)(x-t)+f(t)$ である。この直線が点 $(3/2,0)$ を通る条件は $0=f^{\prime }(t)\left(\frac{3}{2}-t\right)+f(t)$ である。すなわち $f(t)=f^{\prime }(t)\left(t-\frac{3}{2}\right)$ である。

ここで $f(t)=t^3-t^2$、$f^{\prime }(t)=3t^2-2t$ を代入すると $t^3-t^2=(3t^2-2t)\left(t-\frac{3}{2}\right)$ である。整理して $t(4t-3)(t-2)=0$ を得る。したがって $t=0,t=\frac{3}{4},t=2$ である。

各接点での傾きは

である。したがって求める接線は、いずれも $(3/2,0)$ を通るので

である。

(3)

方程式 $x^3-x^2=p\left(x-\frac{3}{2}\right)$ の異なる実数解の個数は、曲線 $y=f(x)=x^3-x^2$ と直線 $y=p\left(x-\frac{3}{2}\right)$ の共有点の個数である。この直線は常に点 $(3/2,0)$ を通り、傾きが $p$ である。

共有点の個数が変わるのは、直線が曲線に接するときである。(2) より、そのときの傾きは $0,\frac{3}{16},8$ である。したがって、これらを境に個数を調べればよい。

(1) のグラフと、$(3/2,0)$ を通る直線の傾きを比べると、次のようになる。$p<0$ のとき共有点は1個である。$p=0$ のときは $x^3-x^2=0$ すなわち $x=0,1$ で、異なる実数解は2個である。$0<p<3/16$ では3個の共有点をもつ。 $p=3/16$ では $x=3/4$ で接し、もう1点で交わるので異なる実数解は2個である。$3/16<p<8$ では共有点は1個である。$p=8$ では $x=2$ で接し、もう1点で交わるので異なる実数解は2個である。$p>8$ では再び共有点は3個である。

よって異なる実数解の個数は

である。