問題
数字の2を書いた玉が1個，数字の1を書いた玉が3個，数字の0を書いた玉が4個あり，これら合計8個の玉が袋に入っている。以下の(1)から(3)のそれぞれにおいて，この状態の袋から1度に1個ずつ玉を取り出し，取り出した玉は袋に戻さないものとする。
(1) 玉を2度取り出すとき，取り出した玉に書かれた数字の合計が2である確率を求めよ。
(2) 玉を4度取り出すとき，取り出した玉に書かれた数字の合計が4以下である確率を求めよ。
(3) 玉を8度取り出すとき，次の条件が満たされる確率を求めよ。
条件：すべてのに対して，1個目から個目までの玉に書かれた数字の合計は以下である。
方針
戻さずに取り出すので、(1)(2) は取り出す集合を組合せで数える。(1) は和が2になる組を と に分ける。(2) は4個の和が最大になる場合を考えると、和が5になるのは の玉1個と の玉3個を全て取る場合だけなので余事象が速い。(3) は途中までの和 を、数字2の玉の個数 と数字0の玉の個数 で と言い換える。数字2の玉は1個だけなので、条件が破れるのは2の玉が0の玉4個より先に現れる場合だけである。
解答
(1)
2度取り出すとき、取り出される2個の組は全部で 通りである。数字の合計が2になるのは、次の2通りである。
まず、数字2の玉1個と数字0の玉1個を取り出す場合は 通りである。次に、数字1の玉を2個取り出す場合は 通りである。したがって有利な取り出し方は 通りであり、求める確率は である。
(2)
4度取り出すとき、取り出される4個の組は全部で 通りである。数字の合計が4以下でない場合、すなわち5以上になる場合を考える。
袋の中の正の数字は、数字2の玉1個と数字1の玉3個だけである。したがって4個取り出したときの合計の最大値は である。和が5になるには、数字2の玉1個と数字1の玉3個をすべて取り出すしかない。これは1通りである。
よって和が4以下である確率は余事象を用いて である。
(3)
個目までに取り出した数字2の玉の個数を 、数字0の玉の個数を 、数字1の玉の個数を とする。このとき であり、 個目までの数字の合計は である。条件は であるから、これは と同値である。
数字2の玉は1個しかないので、 は0または1である。数字2の玉がまだ出ていない間は であり、条件 は必ず成り立つ。問題になるのは数字2の玉が初めて出た瞬間であり、その時点でそれ以前に数字0の玉が1個も出ていないと、 となって条件が破れる。
したがって条件が満たされることは、数字2の玉1個と数字0の玉4個の計5個の中で、最初に現れるものが数字0の玉であることと同値である。この5個の相対的な順序は等確率であり、最初に現れる玉が数字0である確率は である。よって求める確率は である。