名古屋大学 2010年度文系数学第3問解答・解説

問題

はじめに， $A$ が赤玉を1個， $B$ が白玉を1個， $C$ が青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ の硬貨を投げ，表が出れば $A$ と $B$ の玉を交換し，裏が出れば $B$ と $C$ の玉を交換する，という操作を考える．この操作を $n$ 回 $(n = 1, 2, 3, \dots)$ くり返した後に $A$ ， $B$ ， $C$ が赤玉を持っている確率をそれぞれ $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ とおく．

(1) $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $c_{1}$ ， $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ を求めよ．

(2) $a_{n + 1}$ ， $b_{n + 1}$ ， $c_{n + 1}$ を $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ で表せ．

(3) $n$ が奇数ならば $a_{n} = b_{n} > c_{n}$ が成り立ち， $n$ が偶数ならば $a_{n} > b_{n} = c_{n}$ が成り立つことを示せ．

(4) $b_{n}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2010年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

赤球の位置だけを追えばよい。1回の操作後に赤球がどこへ移るかを，表が出た場合と裏が出た場合で分けて確率の漸化式を作る。大小関係は3つの確率を直接求めてもよいが，まず $a_{n} - c_{n}$ と $b_{n}$ の漸化式を抜き出すと簡潔に処理できる。最後に $n$ の偶奇で $(- 1/2)^{n}$ の符号が変わることを使う。

解答

(1) 最初，赤球は箱 $A$ に入っている。

1回目の操作では，表なら $A$ と $B$ を入れ替えるので赤球は $B$ に移り，裏なら $B$ と $C$ を入れ替えるので赤球は $A$ に残る。したがって $a_{1} = \frac{1}{2}, b_{1} = \frac{1}{2}, c_{1} = 0$ である。

2回目については，1回目後の状態からもう一度考える。赤球が $A$ にある確率は $1/2$ ， $B$ にある確率は $1/2$ である。赤球が $A$ にあるとき，次に表が出ると $B$ へ移り，裏が出ると $A$ に残る。赤球が $B$ にあるとき，次に表が出ると $A$ へ移り，裏が出ると $C$ へ移る。よって $a_{2} = \frac{1}{2}, b_{2} = \frac{1}{4}, c_{2} = \frac{1}{4}$ である。

(2) $n$ 回目の操作後に赤球が $A, B, C$ にある確率をそれぞれ $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ とする。

次の操作で赤球が $A$ にあるのは，直前に $A$ にあって裏が出る場合，または直前に $B$ にあって表が出る場合である。したがって $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} b_{n} .$ 同様に，赤球が $B$ にあるのは，直前に $A$ にあって表が出る場合，または直前に $C$ にあって裏が出る場合であるから $b_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} c_{n} .$ また，赤球が $C$ にあるのは，直前に $B$ にあって裏が出る場合，または直前に $C$ にあって表が出る場合であるから $c_{n + 1} = \frac{1}{2} b_{n} + \frac{1}{2} c_{n} .$ よって

a_{n + 1} b_{n + 1} c_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2}, = \frac{a _{n} + c _{n}}{2}, = \frac{b _{n} + c _{n}}{2}

である。

(3) まず $a_{n} + b_{n} + c_{n} = 1$ である。また漸化式の第1式と第3式を引くと

a_{n + 1} - c_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2} - \frac{b _{n} + c _{n}}{2} = \frac{a _{n} - c _{n}}{2}

である。 $a_{1} - c_{1} = 1/2$ だから，帰納的に $a_{n} - c_{n} = \frac{1}{2 ^{n}}$ を得る。

次に $b_{n + 1} = \frac{a _{n} + c _{n}}{2} = \frac{1 - b _{n}}{2}$ である。これを $b_{n + 1} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} (b_{n} - \frac{1}{3})$ と変形する。 $b_{1} = 1/2$ より $b_{1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ なので

b_{n} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} (- \frac{1}{2})^{n - 1} = - \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n} .

したがって $b_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n}$ である。 $n$ が奇数のとき， $(- 1/2)^{n} < 0$ だから $b_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 2 ^{n}} .$ さらに $d = 2^{- n}$ とおくと $a_{n} - c_{n} = d, a_{n} + b_{n} + c_{n} = 1, b_{n} = \frac{1}{3} + \frac{d}{3}$ である。 $c_{n} = a_{n} - d$ を和の式に代入すると $2 a_{n} + b_{n} - d = 1$ なので

a_{n} = \frac{1 - b _{n} + d}{2} = \frac{1 - ( \frac{1}{3} + \frac{d}{3} ) + d}{2} = \frac{1}{3} + \frac{d}{3} = b_{n}

である。しかも $d > 0$ より $a_{n} - c_{n} = d > 0$ だから $a_{n} = b_{n} > c_{n}$ である。 $n$ が偶数のとき， $(- 1/2)^{n} > 0$ だから $b_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 2 ^{n}} .$ このときも $d = 2^{- n}$ とおくと $a_{n} - c_{n} = d, a_{n} + b_{n} + c_{n} = 1, b_{n} = \frac{1}{3} - \frac{d}{3}$ である。 $c_{n} = a_{n} - d$ を和の式に代入すると $2 a_{n} + b_{n} - d = 1$ より

a_{n} = \frac{1 - b _{n} + d}{2} = \frac{1 - ( \frac{1}{3} - \frac{d}{3} ) + d}{2} = \frac{1}{3} + \frac{2 d}{3}

となる。したがって $c_{n} = a_{n} - d = \frac{1}{3} - \frac{d}{3} = b_{n}$ であり， $d > 0$ より $a_{n} > b_{n} = c_{n}$ である。

以上より，奇数回では $a_{n} = b_{n} > c_{n}$ 偶数回では $a_{n} > b_{n} = c_{n}$ が成り立つ。

(4) 上で求めた通り， $b_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n}$ である。

名古屋大学 2010年度文系数学 第3問

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