問題
平面上の長方形が次の条件(a)，(b)，(c)をみたしているとする．
(a) 対角線との交点は原点に一致する．
(b) 直線の傾きは2である．
(c) の座標は，，，の座標より大きい．
このとき，，として，辺の長さを，の長さをとおく．
(1) ，，，の座標を，で表せ．
(2) 長方形が領域に含まれるための，に対する条件を求め，平面上に図示せよ．
方針
長方形の辺の向きが直線 の傾きで決まっているので，まず 方向とそれに垂直な 方向の半分のベクトルを作る。中心が原点であることから，各頂点はその2本の半ベクトルの和・差で一度に表せる。後半は円が凸集合であることを用い，長方形全体が円に含まれる条件を「4頂点が円に含まれる条件」に帰着する。そのうえで，円の中心 から最も遠い頂点を比較して決めればよい。
解答
直線 の傾きは であるから， 方向の単位ベクトルとして をとることができる。 なので，中心から辺 の端点へ向かう半分のベクトルは である。
また，これに垂直な方向のうち，長さ の半分に対応するベクトルとして をとる。これは であり，長さも である。
中心が原点 であるから，4頂点は2つの半ベクトルの和・差で表される。条件 (c) より の 座標が最大になるように符号を選ぶと，
実際， より であるから， の 座標が最も大きい。
次に，円 の中心を とする。円板は凸集合であり，長方形は4頂点の凸包である。したがって，長方形全体が円板に含まれることは，4頂点すべてが円板に含まれることと同値である。
各頂点から までの距離の2乗を比べる。計算すると
ここで なので，4頂点のうち円の中心 から最も遠いのは である。
よって必要十分条件は である。すなわち であり，両辺を で割って平方完成すると を得る。
したがって求める条件は である。