問題
さいころを投げると，1から6までの整数の目が等しい確率で出るとする．さいころを回投げるとき，出る目の積の一の位が となる確率をとする．
(1) ，，を求めよ．
(2) を，とを用いて表せ．
(3) を求めよ．
方針
積の一の位だけを状態として扱う。小問(1)は36通りを直接数え，0になる場合は5と偶数，1になる場合は，2になる場合は列挙で確認する。小問(2)は，次の出目をに分け，一の位1を作れるものだけを拾う。小問(3)は，一の位がであることを「積が2でも5でも割り切れない」と言い換え，各回の出目が1または3に限られることから確率を出す。
解答
(1)
2回の出目は順序を区別して 通りであり，すべて同様に確からしい。
一の位が0になるには，積が10で割り切れればよい。1から6までの目の中で5の因数をもつのは5だけであり，2の因数をもつのは2,4,6である。したがって，一方が5，他方が2,4,6のいずれかである場合で，順序も考えて 通りである。よって である。
一の位が1になるには，2回の出目の積の一の位が1になればよいが，1から6まででは だけである。よって である。
一の位が2になるものを列挙すると の6通りである。したがって である。
(2)
回投げた後の積の一の位を考え，さらに1回投げる。次の出目が1なら，一の位1から一の位1ができる。次の出目が3なら，一の位7から により一の位1ができる。
他の出目については，2,4,5,6はいずれも一の位1を作る前状態をもたない。実際，偶数を掛けると積は偶数になり，5を掛けると一の位は0または5になる。したがって である。
(3)
一の位がのいずれかであることは，積が2でも5でも割り切れないことと同値である。さいころの目1から6のうち，2でも5でも割り切れないものは だけである。したがって，回すべての出目が1または3であることが必要十分条件である。
各回で1または3が出る確率はであり，各回は独立なので である。