問題
空間のベクトル，，が，次の条件
をみたしているとする．ただし，，は正の数とする．
(1) ，の値を求めよ．
(2) 三角形の面積を求めよ．
(3) 四面体の体積を求めよ．
出典：名古屋大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
内積条件を成分に直し，まずを決める。とおくと，から，からが決まり，最後にでを求める。面積はが平面上にあることを使い，体積は底面と点から平面までの距離で計算する。の符号は体積には影響しないが，高さは必ずで取る。
解答
(1)
である。条件 より である。またなので である。これにを代入すると となる。は正の数であるから である。
(2)
点はいずれも平面上にある。線分は軸上にあり，その長さは である。点の座標はなので，から軸までの距離はである。したがって三角形の面積は
である。
(3)
とおく。条件 より である。また より である。を代入して だから である。
さらにより である。したがって であり，点から平面までの距離は である。
四面体は，底面を三角形と見れば，高さがである。よって
である。
別解。体積だけは座標による確認もできる。を3本の辺とする平行六面体の体積は
である。四面体の体積はそのだから，やはり となる。