問題
放物線 と円 が，点で接しているとする．ただし，とする．この円の中心から軸に下ろした垂線と軸との交点をとしたとき，であるとする．ここで，放物線と円が点で接するとは，が放物線と円の共有点であり，かつ点における放物線の接線と点における円の接線が一致することである．
(1) ，の値を求めよ．
(2) 点と点を結ぶ短い方の弧と軸，および放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．
出典：名古屋大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
まず円の中心とを置き，からの相対位置を決める。よりであるため，の横成分の符号に注意する。次に，が放物線上にある条件と，接線の傾き一致を連立してを求める。面積は三角形から，弦と放物線の間の部分，および弦と円弧の間の円弧部分を引く。
解答
(1)
円の中心は であり，から軸に下ろした垂線の足は である。円の半径は1なのでである。で，は鉛直下向きの長さ1のベクトルであるから，について となる。ここでよりだから である。したがって である。
点は放物線上にあるので である。また放物線の接線の傾きは より，点ではである。一方，円 を微分すると なので，点での接線の傾きは である。接線が一致するから である。 とを割り合わせると である。よって
となる。したがって である。
(2)
とする。求める部分は，三角形から，弦と放物線の間の部分，および弦と短い方の円弧の間の部分を取り除いたものである。
まず
であるから，三角形の面積は，底辺をと見て である。
次に，直線の傾きは なので，直線は である。弦と放物線の間の面積は
である。
また，，である。したがって扇形の面積は であり，三角形の面積は である。よって弦と短い方の弧で囲まれる部分の面積は である。
以上より求める面積は
である。