問題
正六面体の各面に1つずつ，サイコロのように，1から6までの整数がもれなく書かれていて，向かい合う面の数の和は7である．このような正六面体が底面の数字が1であるように机の上におかれている．この状態から始めて，次の試行を繰り返し行う．「現在の底面と隣り合う4面のうちの1つを新しい底面にする．」ただし，これらの4面の数字が，，，のとき，それぞれの面が新しい底面となる確率の比はとする．この試行を回繰り返した後，底面の数字がである確率を で表す． とおく．
(1) ，を求めよ．
(2) をで表し，を求めよ．
(3) を求めよ．
方針
各面の番号そのものを追うと6状態になるが，向かい合う2面の和がどの組も7であることに注目すると，底面が または である確率だけを閉じた漸化式で扱える。底面がある向かい合う組に属するとき，次に出る底面は隣接する4面に限られ，残り2つの組へ移る確率はそれぞれ になる。まず組の確率 を求め，最後に組内で の比に分かれることから を出す。
解答
向かい合う面の組を とする。どの組も番号の和は7である。底面がある組の一方であるとき，次の底面はその面に隣り合う4面のどれかで，それぞれ番号に比例する確率で選ばれる。同じ組のもう一方は向かい合う面なので次の底面にはなれず，残り2組の面だけが候補になる。各組の番号の和はいずれも7だから，次に2つの別の組へ移る確率はそれぞれ である。 を 回目の操作後に底面が または である確率とする。初めは底面が1なので である。上の観察より， にいると次はこの組に残らず，他の組にいると次に へ移る確率は である。したがって である。これを と書き直すと， より を得る。
次に，底面が の組に入るとき，実際に1になる確率と6になる確率の比は番号の比 である。したがって では これは のとき となり，初回には向かい合う6にも元の1にも行けないこととも一致する。よって
である。