名古屋大学 2006年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に点 $A (2, 4)$ がある．平面上の直線 $l$ に関して点 $A$ と対称な点が $x$ 軸上にあるとき，直線 $l$ をピッタリ直線と呼ぶことにする．

(1) 点 $P (p, q)$ を通るピッタリ直線 $l$ があるとし， $l$ に関して $A$ と対称な点を $A^{'} (t, 0)$ とするとき， $p$ ， $q$ ， $t$ の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2) ピッタリ直線が2本通る点 $P (p, q)$ の存在範囲を求め，それを図示せよ．

(3) 点 $P (p, q)$ を通る2本のピッタリ直線が直交するような点 $P (p, q)$ の存在範囲を求め，それを図示せよ．

出典：名古屋大学 2006年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

反射の条件は，直線 $l$ が点 $A$ とその反射先 $A^{'}$ を結ぶ線分の垂直二等分線であることに言い換える。 $A^{'}$ が $x$ 軸上にあるとして $A^{'} = (t, 0)$ とおき，点 $(p, q)$ が垂直二等分線上にある条件を距離の等式で表す。 $t$ に関する二次方程式の実根の個数が，通れる直線の本数に対応するので，(1)は二次方程式，(2)は判別式，(3)は2本の直線の傾きの積で処理する。

解答

$A = (2, 4)$ が直線 $l$ に関して $x$ 軸上の点 $A^{'} = (t, 0)$ に移るとする。このとき $l$ は線分 $A A^{'}$ の垂直二等分線であるから， $(p, q)$ が $l$ 上にある条件は $(p - 2)^{2} + (q - 4)^{2} = (p - t)^{2} + q^{2}$ である。整理すると

p^{2} - 4 p + 4 + q^{2} - 8 q + 16 t^{2} - 2 pt + 4 p + 8 q - 20 = p^{2} - 2 pt + t^{2} + q^{2}, = 0

となる。よって(1)の答は $t^{2} - 2 pt + 4 p + 8 q - 20 = 0$ である。

(2) 点 $(p, q)$ を通るピッタリ直線の本数は，この二次方程式の実数解 $t$ の個数に等しい。異なる2本の直線が存在するための条件は判別式が正であること，すなわち $(- 2 p)^{2} - 4 (4 p + 8 q - 20) > 0$ である。これを整理すると $p^{2} - 4 p - 8 q + 20 > 0$ であり， $q < \frac{p ^{2} - 4 p + 20}{8} = \frac{( p - 2 ) ^{2}}{8} + 2$ を得る。したがって求める領域は $q < \frac{( p - 2 ) ^{2}}{8} + 2$ である。

(3) 二次方程式の2つの根を $t_{1}, t_{2}$ とする。線分 $A A_{i}^{'}$ の傾きは $\frac{0 - 4}{t _{i} - 2} = - \frac{4}{t _{i} - 2}$ であるから，その垂直二等分線であるピッタリ直線の傾きは $\frac{t _{i} - 2}{4}$ である。2本が直交するためには $\frac{t _{1} - 2}{4} \cdot \frac{t _{2} - 2}{4} = - 1$ であればよい。つまり $(t_{1} - 2) (t_{2} - 2) = - 16$ である。根と係数の関係より $t_{1} + t_{2} = 2 p, t_{1} t_{2} = 4 p + 8 q - 20$ なので $(t_{1} - 2) (t_{2} - 2) = t_{1} t_{2} - 2 (t_{1} + t_{2}) + 4 = 8 q - 16.$ したがって $8 q - 16 = - 16$ ，すなわち $q = 0$ である。このとき判別式は $4 {(p - 2)^{2} + 16} > 0$ で常に正だから，任意の $p$ について2本の直交するピッタリ直線が存在する。よって求める点 $(p, q)$ の集合は $q = 0$ すなわち $x$ 軸全体である。

名古屋大学 2006年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

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文系数学第2問