名古屋大学 2006年度文系数学第1問解答・解説

問題

$0 ≦ k ≦ 1$ をみたす実数 $k$ に対して， $x y$ 平面上に次の連立不等式で表される3つの領域 $D$ ， $E$ ， $F$ を考える．

$D$ は連立不等式 $y ≧ x^{2}$ ， $y ≦ k x$ で表される領域

$E$ は連立不等式 $y ≦ x^{2}$ ， $y ≧ k x$ で表される領域

$F$ は連立不等式 $y ≦ - x^{2} + 2 x$ ， $y ≧ k x$ で表される領域

(1) 領域 $D \cup (E \cap F)$ の面積 $m (k)$ を求めよ．

(2) (1)で求めた面積 $m (k)$ を最小にする $k$ の値と，その最小値を求めよ．

出典：名古屋大学 2006年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

2つの領域は放物線と直線で囲まれるので，まず交点をすべて整理し，面積を積分で表す。直線 $y = k x$ と $y = x^{2}$ の交点は $x = 0, k$ ，直線 $y = k x$ と $y = - x^{2} + 2 x$ の交点は $x = 0, 2 - k$ である。 $0 ≦ k ≦ 1$ では， $D$ は $0 ≦ x ≦ k$ の細い部分， $E \cap F$ は $k ≦ x ≦ 1$ と $1 ≦ x ≦ 2 - k$ に分けて計算できる。最後に得られた三次式を微分し，端点と内部の臨界点を比較する。

解答

$0 ≦ k ≦ 1$ とする。 $y = x^{2}$ と $y = k x$ は $x = 0, k$ で交わるから， $D$ の面積は

\int_{0}^{k} (k x - x^{2}) d x = [\frac{k x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{k} = \frac{k ^{3}}{6}

である。

次に $E \cap F$ を考える。 $E$ では $y ≦ x^{2}$ ， $F$ では $y ≧ k x$ かつ $y ≦ - x^{2} + 2 x$ である。 $0 ≦ x ≦ 1$ では $x^{2} ≦ - x^{2} + 2 x$ ， $1 ≦ x ≦ 2$ では $- x^{2} + 2 x ≦ x^{2}$ であるから，上端の曲線は $x = 1$ で入れ替わる。また $k x ≦ x^{2}$ は $x ≧ k$ ， $k x ≦ - x^{2} + 2 x$ は $0 ≦ x ≦ 2 - k$ である。したがって

S_{E \cap F} = \int_{k}^{1} (x^{2} - k x) d x + \int_{1}^{2 - k} (- x^{2} + 2 x - k x) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - \frac{k x ^{2}}{2}]_{k}^{1} + [- \frac{x ^{3}}{3} + \frac{( 2 - k ) x ^{2}}{2}]_{1}^{2 - k} = \frac{1}{3} - \frac{k}{2} + \frac{k ^{3}}{6} + \frac{( 2 - k ) ^{3}}{6} + \frac{1}{3} - \frac{k}{2} = k^{2} - 2 k + 1.

よって求める面積の和を $m (k)$ とすると $m (k) = \frac{k ^{3}}{6} + k^{2} - 2 k + 1$ である。微分すると $m^{'} (k) = \frac{k ^{2}}{2} + 2 k - 2 = \frac{1}{2} {k^{2} + 4 k - 4}$ であり， $0 ≦ k ≦ 1$ にある臨界点は $k = - 2 + 22 = 22 - 2$ だけである。さらに $m^{'} (0) = - 2 < 0$ ， $m^{'} (1) = \frac{1}{2} > 0$ だから，この点で最小になる。端点値を比べても $m (0) = 1, m (1) = \frac{1}{6}$ であり，内部の臨界点が最小候補である。 $a = 22 - 2$ とおくと， $a^{2} = 12 - 82$ ， $a^{3} = 402 - 56$ なので

m (a) = \frac{40 2 - 56}{6} + 12 - 82 - 42 + 4 + 1 = \frac{23 - 16 2}{3} .

したがって最小値は $\frac{23 - 16 2}{3}$ であり，そのとき $k = 22 - 2$ である。

名古屋大学 2006年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

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文系数学第1問