名古屋大学 2005年度
後期・理系数学 後期第2問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 図形と方程式、三角関数、微分
- 解法
- 円の性質、三角比の利用、微分による最大最小
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 —
問題
四角形ABCDにおいて，
AB=4,BC=5,CD=t,DA=3−t(0<t<3)
とする．四角形ABCDは外接円を持つとする．つぎの各問に答えよ．
(1) cosCをtで表せ．
(2) 四角形ABCDの面積Sをtで表せ．
(3) Sの最大値と，そのときのtの値を求めよ．
出典：名古屋大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期第2問
方針
四角形が円に内接するので，対角の和は π であり，cosA=−cosC が使える。対角線 BD を，三角形 BCD と三角形 BAD の両方から余弦定理で表し，それらを等置して cosC を求める。面積は2つの三角形の和として sinC をくくり，(1)の結果から t だけの式にする。最後は S ではなく S2 を最大化すれば平方根を避けられる。
解答
(1)
∠C=C，∠A=A とおく。四角形 ABCD は円に内接するので，対角の和は A+C=π である。したがって cosA=cos(π−C)=−cosC である。
対角線 BD に注目する。三角形 BCD で余弦定理を用いると BD2=BC2+CD2−2⋅BC⋅CDcosC=25+t2−10tcosC である。一方，三角形 BAD で余弦定理を用いると
BD2=AB2+AD2−2⋅AB⋅ADcosA=16+(3−t)2−2⋅4(3−t)(−cosC)=16+(3−t)2+8(3−t)cosC
である。
これらを等しくして 25+t2−10tcosC=16+(3−t)2+8(3−t)cosC を得る。右辺の定数部分を整理すると 16+(3−t)2=25−6t+t2 だから，25+t2−10tcosC=25−6t+t2+8(3−t)cosC である。よって 6t=(24+2t)cosC となり，cosC=t+123t である。
(2)
四角形の面積 S は，三角形 BCD と三角形 BAD の面積の和である。したがって
S=21⋅BC⋅CDsinC+21⋅AB⋅ADsinA=21⋅5tsinC+21⋅4(3−t)sinC=21(t+12)sinC
である。ここで 0<t<3 より 0<C<π なので sinC>0 であり，sinC=1−(t+123t)2 と書ける。よって
S=21(t+12)1−(t+123t)2=21(t+12)2−9t2
である。
(3)
(2)より S2=41{(t+12)2−9t2} である。整理すると S2=−2t2+6t+36 である。S>0 なので，S を最大にすることは S2 を最大にすることと同じである。
平方完成すると S2=−2(t−23)2+281 である。0<t<3 の範囲に t=3/2 は含まれるので，最大は t=23 のときである。このとき S2=281 だから Smax=292 である。
