名古屋大学 2005年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

2次正方行列

X = (a 1 - a 2 - a 3 - b) と Y = (c 2 - c 1 - c c)

について，つぎの等式が成り立つとする．ただし， $a$ ， $b$ ， $c$ は実数とする．

(X + Y) (X - Y) = X^{2} - Y^{2}

つぎの各問に答えよ．

(1) $b$ と $c$ を，それぞれ $a$ で表せ．

(2) $Z = X^{2} + 2 X Y + Y^{2}$ とする． $Z$ の各成分を $a$ ， $b$ ， $c$ を用いずに表せ．

(3) $X^{4} = k E$ （ $k$ は実数）を満たす $X$ および $k$ を求めよ．ここで， $E = (1001)$ である．

出典：名古屋大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

与えられた等式は展開すると $(X + Y) (X - Y) = X^{2} - X Y + Y X - Y^{2}$ であり，右辺 $X^{2} - Y^{2}$ と比べて $Y X = X Y$ と同値になる。したがって(1)は行列の成分比較で $b, c$ を $a$ で表す。(2)では(1)を代入すると $X + Y = 3 E$ となるので， $Z = (X + Y)^{2}$ を使えば成分計算をほぼ避けられる。(3)は(1)で得た $X$ を用いて $X^{4}$ の非対角成分を調べ，実数条件で消える場合を絞る。

解答

(1)

まず与式を展開する。 $(X + Y) (X - Y) = X^{2} - X Y + Y X - Y^{2}$ である。これが $X^{2} - Y^{2}$ に等しいので $- X Y + Y X = 0$ すなわち $X Y = Y X$ である。

成分を比較する。計算すると

X Y = (a c + (2 - a) (2 - c) (1 - a) c + (3 - b) (2 - c) a (1 - c) + c (2 - a) (1 - a) (1 - c) + c (3 - b))

であり，

Y X = (a c + (1 - c) (1 - a) (2 - c) a + c (1 - a) 2 c - a c + (1 - c) (3 - b) (2 - c) (2 - a) + c (3 - b))

である。対応する成分を比較して整理すると $b = 3 - a, c = 3 - a$ を得る。

(2)

(1)を代入すると

X = (a 1 - a 2 - a a), Y = (3 - a a - 1 a - 2 3 - a)

である。したがって

X + Y = (3003) = 3 E

となる。

また(1)より $X Y = Y X$ であるから $Z = X^{2} + 2 X Y + Y^{2} = (X + Y)^{2}$ とまとめられる。よって

Z = (3 E)^{2} = 9 E = (9009)

である。

(3)

(1)より

X = (a 1 - a 2 - a a)

である。この $X$ について $X^{4}$ を計算し，非対角成分だけに注目する。 $X^{4} = k E$ なら非対角成分はともに0でなければならない。

計算すると， $X^{4}$ の $(1, 2)$ 成分は $- 4 a (a - 2) (2 a^{2} - 3 a + 2)$ であり， $(2, 1)$ 成分は $- 4 a (a - 1) (2 a^{2} - 3 a + 2)$ である。ここで $2 a^{2} - 3 a + 2 = 2 (a - \frac{3}{4})^{2} + \frac{7}{8} > 0$ であるから，実数 $a$ に対して0にはならない。

したがって非対角成分がともに0になるには $a (a - 2) = 0, a (a - 1) = 0$ が同時に成り立つ必要がある。これを満たす実数は $a = 0$ だけである。

このとき

X = (0120)

であり，

X^{2} = (2002) = 2 E

だから $X^{4} = (2 E)^{2} = 4 E$ である。よって

X = (0120), k = 4

である。

名古屋大学 2005年度後期・理系数学 後期第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2005年度
後期・理系数学後期第1問