問題
(1) 複素数を未知数とする方程式の解をすべてを求めよ．
(2) (1)で求めた解（，は実数）のうち，次の条件を満たすものをすべて求めよ．
条件：を未知数とする3次方程式
が，整数の解を少なくとも1つもつ．
出典：名古屋大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
(1)は から絶対値が2で偏角が ずつずれる6個の解を列挙する。(2)では各解を として， の3群に分けて3次方程式を調べる。整数解をもつかどうかは，定数項の約数だけを候補にして代入すればよい。条件は「少なくとも1つ」なので，解を1つ見つければその は採用できるが，候補外の整数解がないことも約数候補で確認する。
解答
(1)
であるから， の解は絶対値が2で，偏角が ずつ異なる6個である。したがって
である。これを具体的に書くと
である。
(2)
(1)の各解を として調べる。
まず のとき， であるから3次方程式は である。整数解があるなら となるが，そのような整数 はない。
次に のとき， であるから である。これも整数解をもたない。 の場合を考える。，すなわち のときは である。整数解があるなら定数項2の約数より を調べればよいが，
となり，整数解はない。 ，すなわち のときは である。この方程式は より，整数解 をもつ。したがって は条件を満たす。
最後に の場合を考える。，すなわち のときは であり， なので整数解 をもつ。よって条件を満たす。 ，すなわち のときは である。整数解があるなら を調べればよい。代入すると
となり，整数解はない。
以上より，条件を満たす解は である。