問題
1から13までの数が1つ書かれているカードが52枚あり，各数について4枚ずつある．この52枚のカードから，戻さずに続けて2枚とりだし，そのカードに書かれた数を順に，とする．関数
を考える．
(1) カードに書かれた数，で，となるものをすべて求めよ．
(2) となる確率を求めよ．
出典：名古屋大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
対数の定義から は1から13までの正整数であり， をまず積の方程式に直す。 から ，すなわち を得る。あとは正の約数の組を調べ，範囲 を満たすものだけを残す。確率では2枚を戻さず順に取り出すため，全事象は 通りで，同じ数字2枚の場合だけ 通りになる点を分ける。
解答
(1)
カードに書かれた数なので である。条件 は であるから， と同値である。よって すなわち である。これを整理すると であり，両辺に9を加えて を得る。
ここで は正整数である。もし と がともに負なら， は1または2であり， は最大でも4で，9にはならない。したがって ， はともに正である。9の正の約数の組は であるから， である。これらはいずれも を満たす。
(2)
2枚を戻さず順に取り出すので，全事象は 通りである。
(1)で得た順序つきの組を数える。 の場合，4のカードの選び方が4通り，12のカードの選び方が4通りなので 通りである。 も同様に 通りである。
一方， の場合は，1枚目の6は4通りだが，戻さないので2枚目の6は残り3通りである。したがって 通りである。
よって有利な場合の数は である。求める確率は である。