名古屋大学 2005年度
文系数学 第1問

解答

(1)

直線 $l:y=x$ と放物線 $R:y=-x^2+6$ の交点の $x$ 座標は $-x^2+6=x$ すなわち $x^2+x-6=0$ の解である。よって $x=-3,x=2$ である。この区間では放物線が直線の上にあるので，囲まれた面積 $T$ は

である。

(2)

直線 $y=x+t$ と放物線 $R$ の交点の $x$ 座標は $-x^2+6=x+t$ すなわち $x^2+x+(t-6)=0$ の2解である。相異なる2点で交わるためには判別式が正であればよいから $25-4t>0$ すなわち $0<t<\frac{25}{4}$ である。

この2解の差を $d$ とおくと，2次方程式の解の差より $d=\sqrt{25-4t}$ である。直線 $y=x+t$ 上の2点 $C(t),D(t)$ の実際の距離は，$x$ 座標の差が $d$ で傾きが1だから $CD=\sqrt{2}d$ である。同様に，$A,B$ の $x$ 座標の差は $2-(-3)=5$ なので $AB=5\sqrt{2}$ である。また，2本の平行線 $y=x$ と $y=x+t$ の距離は $\frac{t}{\sqrt{2}}$ である。

したがって台形の面積は

である。

ここで $d=\sqrt{25-4t}$ より $t=\frac{25-d^2}{4}$ であり，$0<t<25/4$ は $0<d<5$ に対応する。よって $S(t)=\frac{25-d^2}{8}(5+d)=\frac{(5-d)(5+d{)}^2}{8}$ である。これを $d$ の関数として $S=\frac{1}{8}(5-d)(5+d{)}^2$ と見ると，

である。$0<d<5$ では $5+d>0$ なので，最大となるのは $d=\frac{5}{3}$ のときである。このとき

である。

したがって $f(t)=\frac{S(t)}{T}$ の最大値は $\frac{1000/27}{125/6}=\frac{16}{9}$ である。