名古屋大学 2004年度
文系数学 第3問

解答

(1)

漸化式 $z_{n+1}=(1+i)z_n+i$ の固定点を求める。$z=(1+i)z+i$ を解くと $-iz=i$ より $z=-1$ である。したがって両辺に1を加えると $z_{n+1}+1=(1+i)(z_n+1)$ となる。 $z_1=3$ だから $z_1+1=4$ である。よって $z_n+1$ は初項4、公比 $1+i$ の等比数列であり、$z_n+1=4(1+i{)}^{n-1}$ である。したがって $z_n=4(1+i{)}^{n-1}-1$ である。

(2)

$n=8m-7$ とすると $n-1=8m-8=8(m-1)$ である。また $(1+i{)}^2=2i,(1+i{)}^4=-4,(1+i{)}^8=16$ である。したがって

である。これは実数であり、求める式が示された。

(3)

(1)より $z_{n+1}-z_n=4(1+i{)}^n-4(1+i{)}^{n-1}=4i(1+i{)}^{n-1}$ である。また $z_{n+2}-z_{n+1}=4i(1+i{)}^n=(1+i)(z_{n+1}-z_n)$ である。したがって、辺 $P_n{P}_{n+1}$ を表す複素数に $1+i$ を掛けると、辺 $P_{n+1}{P}_{n+2}$ を表す複素数になる。 $1+i$ は大きさ $\sqrt{2}$、偏角 $\pi /4$ の複素数であるから、2つの辺のなす角は $\pi /4$ である。また $|z_{n+1}-z_n|=4|1+i{|}^{n-1}=4\cdot 2^{(n-1)/2}$ であり、$|z_{n+2}-z_{n+1}|=4|1+i{|}^n=4\cdot 2^{n/2}$ である。よって三角形 $P_n{P}_{n+1}{P}_{n+2}$ の面積は $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2^{(n-1)/2}\cdot 4\cdot 2^{n/2}\cdot \sin \frac{\pi }{4}$ である。$\sin (\pi /4)=\sqrt{2}/2$ だから、これは $2^{n+2}$ である。

別解。面積は、複素数 $w_1=z_{n+1}-z_n$, $w_2=z_{n+2}-z_n$ が作る平行四辺形の面積の半分としても求められる。ここで $z_{n+2}-z_n=(1+(1+i))(z_{n+1}-z_n)=(2+i)(z_{n+1}-z_n)$ であり、回転拡大の実部・虚部から同じく面積 $2^{n+2}$ が得られる。