問題
サイコロの出た目の数だけ数直線を正の方向に移動するゲームを考える．ただし，8をゴールとしてちょうど8の位置へ移動したときにゲームを終了し，8をこえた分についてはその数だけ戻る．たとえば，7の位置で3が出た場合，8から2戻って6へ移動する．なお，サイコロは1から6までの目が等確率で出るものとする．原点から始めて，サイコロを回投げ終えたときに8へ移動してゲームを終了する確率をとおく．
(1) を求めよ．
(2) を求めよ．
(3) を求めよ．
方針
終了していない位置だけを状態として追う。1回目では8に届かないので、2回で終了するのは出目の和が8になる場合である。2回投げ終わって終了していない場合、位置は必ず2から7のいずれかになり、どの位置からも次に8へ到達する出目はちょうど1通りである。この性質を使えば、3回目は2回目までに終了していない確率の 、4回目は3回目までに終了していない確率の として求められる。
解答
(1)
1回目の出目は1から6なので、1回で8に到達することはない。2回で8に到達して終了するには、2つの出目の和が8になればよい。可能な組は の5通りである。全体は 通りだから、 である。
(2)
2回投げ終わってまだ終了していない場合を考える。2回目終了時点で8にいないとき、位置は2から7のいずれかである。実際、2つの出目の和が8未満なら位置は2から7であり、8を超えた場合も反射後の位置は4から7のいずれかである。
位置 が2から7のいずれであっても、次にちょうど8へ移動する出目は の1通りだけである。したがって、2回目までに終了していない確率に を掛ければよい。よって
である。
(3)
4回目に終了するためには、3回目までに終了しておらず、4回目の出目でちょうど8へ入ればよい。上と同じ理由で、3回目までに終了していない状態では位置は2から7のいずれかであり、次に終了する出目は1通りである。
3回目までに終了していない確率は である。したがって である。
別解。3回目以降は、終了していない限り各回で終了する確率が常に である。したがって、2回目終了後の未終了確率 から
と考えても同じ値が得られる。