問題
一つの箱の中に1から10までの数が書かれたカードが4枚ずつ計40枚入っている．この箱から枚のカードを同時に取り出す．このうちの3枚のカードが同じ数で残りはこれとは違う互いに異なる数となる確率をとする．
(1) を求めよ．
(2) のとき，を求めよ．
(3) を最大にするの値を求めよ．
出典：名古屋大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(b)
方針
条件は「ある1種類の数がちょうど3枚、残りはそれと異なる種類で、しかも残り同士も種類がすべて異なる」という意味である。まず3枚そろう数を選び、その4枚のうち3枚を選ぶ。残り 枚は他の9種類から 種類を選び、それぞれ4枚のうち1枚を選ぶ。(2)は得られた式の隣接比 を整理する。(3)はこの比が1をまたぐ位置を調べ、増加から減少へ変わる を決める。
解答
(1)
取り出す全体の場合の数は である。
条件を満たす取り出し方を数える。まず、3枚そろう数を選ぶ方法は10通りである。その数が書かれたカードは4枚あるので、そのうち3枚を選ぶ方法は 通りである。
残り 枚は、この数とは異なり、互いにも異なる数でなければならない。したがって、残りの9種類の数から 種類を選び、それぞれについて4枚のうち1枚を選ぶ。これは 通りである。
よって
である。
(2)
(1)の式から を計算する。定数 は打ち消し合うので
である。ここで
であり、さらに だから である。
(3)
であるから、 なら 、 なら である。
(2)の式を用いると
であり、
である。さらに はこの範囲で1を一度だけまたぐので、 は までは増加し、 以後は減少する。
したがって を最大にする は である。