名古屋大学 2003年度
文系数学 第2問

解答

(1)

放物線 $C:y=a{x}^2$ の導関数は $y^{\prime }=2ax$ である。したがって点 $P(p,a{p}^2)$ における接線の傾きは $2ap$ である。$p\ne 0$ なのでこの値は0でなく、これに直交する直線 $l$ の傾きは $-\frac{1}{2ap}$ である。よって $l$ の方程式は $\boxed{y-a{p}^2=-\frac{1}{2ap}(x-p)}$ である。

(2)

直線 $l$ と放物線 $C$ の交点のうち、$P$ でない方の $x$ 座標を $r$ とする。交点では $a{x}^2=a{p}^2-\frac{1}{2ap}(x-p)$ である。両辺に $2ap$ を掛けると $2a^{2}p{x}^2=2a^2{p}^3-x+p$ である。これは $x=p$ を解にもつので、もう一つの解を $r$ とすれば、解と係数の関係より $p+r=-\frac{1}{2a^{2}p}$ である。したがって $r=-p-\frac{1}{2a^{2}p}$ であり、$p-r=2p+\frac{1}{2a^{2}p}$ である。

直線の式を $L(x)$ と書くと、$L(x)-a{x}^2$ は $x=r,p$ で0になり、$r<x<p$ で正である。よって $L(x)-a{x}^2=-a(x-p)(x-r)=a(p-x)(x-r)$ である。したがって囲まれる面積は $S(P)={\int }_r^{p}a(p-x)(x-r)dx$ である。ここで $u=x-r$ とおくと、$0\leqq u\leqq p-r$ で $(p-x)(x-r)=\{(p-r)-u\}u$ だから $S(P)=a{\int }_0^{p-r}\{(p-r)u-u^2\}du=\frac{a}{6}(p-r{)}^3$ である。ゆえに $S(P)=\frac{a}{6}{\left(2p+\frac{1}{2a^{2}p}\right)}^3$ である。 $p>0$ なので、$S(P)$ を最小にするには $2p+\frac{1}{2a^{2}p}$ を最小にすればよい。相加平均と相乗平均の関係より $2p+\frac{1}{2a^{2}p}\geqq 2\sqrt{2p\cdot \frac{1}{2a^{2}p}}=\frac{2}{a}$ であり、等号は $2p=\frac{1}{2a^{2}p}$ すなわち $p=\frac{1}{2a}$ のときに成立する。このとき $l$ の傾き $m$ は $m=-\frac{1}{2ap}=-1$ であり、最小面積は

である。したがって

である。

別解。法線の傾きを $m$ として直接考えてもよい。$m=-1/(2ap)$ だから、$p>0$ では $m<0$ であり $p=-\frac{1}{2am}$ である。上で得た $p-r$ は $p-r=2p+\frac{1}{2a^{2}p}=-\frac{1}{a}\left(m+\frac{1}{m}\right)$ となる。$u=-m>0$ とおけば $-\left(m+\frac{1}{m}\right)=u+\frac{1}{u}\geqq 2$ で、等号は $u=1$、すなわち $m=-1$ のときである。これから同じ最小値 $4/(3a^2)$ が得られる。