問題
の頂角の二等分線と辺との交点を，点から直線へ下ろした垂線の足をとする．以下では，，とする．
(1) は線分をに内分する点であることを証明せよ．
(2) 線分の長さを，を用いて表せ．
出典：名古屋大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
角の二等分線の定理をそのまま使うだけでなく、面積を用いて比を確認してから の位置ベクトルを出す。 なので、内分点公式から を表せる。(2)では が直線 上の垂線の足であることから、 は の 方向への射影の長さである。内積で射影を計算し、最後に と で整理する。
解答
(1)
は角 の二等分線上にある。 から直線 , へ下ろした垂線の長さは等しいので、三角形 と の面積を比べると
である。一方、2つの三角形は、底辺をそれぞれ , と見れば、どちらも高さは点 から直線 への距離で共通である。したがって である。よって となる。したがって は線分 を に内分する点である。
(2)
とおく。(1)より であるから、内分点公式により である。
点 は から直線 へ下ろした垂線の足なので、 は の 方向への射影の長さである。よって
である。ここに の式を代入すると
であるから
である。したがって
である。