名古屋大学 1999年度
文系数学 第3問(b)

解答

(1)

$z\ne -1$ で $f(z)=\frac{z-1}{z+1}$ である。さらに $f(f(z))$ を考えるには $f(z)\ne -1$ が必要であるが、$f(z)=-1$ は $z-1=-(z+1)$、すなわち $z=0$ を与える。したがって $z\ne 0,-1$ で計算する。

直接代入すると

である。条件 $f(f(z))=z+1$ は $-\frac{1}{z}=z+1$ であり、$z\ne 0$ だから $z^2+z+1=0$ となる。よって $\boxed{z=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}}$ である。これらはいずれも $0,-1$ ではない。

(2)

$\alpha \ne 0,-1$ として $f(f(\alpha ))=-\frac{1}{\alpha }$ である。3点 $0,\alpha ,-1/\alpha$ が正三角形をなすには、原点から見た2つのベクトル $\alpha$ と $-1/\alpha$ の長さが等しく、なす角が $60^{\circ }$ であればよい。したがって $\frac{-1/\alpha }{\alpha }=\cos \frac{\pi }{3}\pm i\sin \frac{\pi }{3}$ が成り立つ。すなわち $-\frac{1}{{\alpha }^2}=\cos \frac{\pi }{3}\pm i\sin \frac{\pi }{3}$ である。

ここで $\omega =\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$ とおく。上の式は ${\alpha }^2=-{\omega }^{-1}\text{または}{\alpha }^2=-\omega$ である。したがって ${\alpha }^2=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$ または ${\alpha }^2=\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}$ となる。これらの平方根を取ると

である。よって

である。

別解。(2)は距離から始めてもよい。正三角形なら $|\alpha |=\left|-\frac{1}{\alpha }\right|$ なので $|\alpha |=1$ である。よって $\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$ とおける。このとき $-\frac{1}{\alpha }=-\overline{\alpha }=\cos (\pi -\theta )+i\sin (\pi -\theta )$ である。2本のベクトルの偏角の差が $\pm \pi /3$ であればよいから $\pi -2\theta \equiv \pm \frac{\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$ となる。これより

を得て、同じ4つの値が求まる。