名古屋大学 1999年度
文系数学 第1問

解答

(1)

$x>0$ で交点を調べるので、方程式 $x|x-1|=kx$ を $x$ で割ってよい。$0<x<1$ では $|x-1|=1-x$ だから $1-x=k,x=1-k$ となる。この交点が実際に $0<x<1$ にある条件は $0<1-k<1$ すなわち $0<k<1$ である。

一方、$x\geqq 1$ では $|x-1|=x-1$ だから $x-1=k,x=k+1$ となる。この交点が $x\ne 0$ かつ $x\geqq 1$ にある条件は $k\geqq 0$ である。したがって、$x>0$ に2つの交点をもつには、前半の交点も後半の交点も現れ、しかも別々の位置にある必要がある。よって $0<k<1$ である。

(2)

以下 $0<k<1$ とする。交点の $x$ 座標は、原点を除くと $1-k,1+k$ であり、曲線と直線は原点でも交わる。$0<x<1-k$ では $x(1-x)-kx=x(1-k-x)>0$ なので曲線が直線より上にある。したがって原点側の面積は ${\int }_0^{1-k}x(1-k-x)dx=\frac{(1-k{)}^3}{6}$ である。

次に、$1-k<x<1+k$ の部分では直線が曲線より上にある。$x=1+u$ とおくと、$-k\leqq u\leqq k$ であり、曲線は $y=(1+u)|u|$、直線は $y=k(1+u)$ である。よってこの部分の面積は ${\int }_{-k}^0(1+u)(k+u)du+{\int }_0^k(1+u)(k-u)du$ である。実際に計算すると ${\int }_{-k}^0(1+u)(k+u)du=\frac{k^2}{2}-\frac{k^3}{6},$ ${\int }_0^k(1+u)(k-u)du=\frac{k^2}{2}+\frac{k^3}{6}$ となるので、この部分の面積は $k^2$ である。

したがって、囲まれる図形全体の面積を $S(k)$ とすると $S(k)=\frac{(1-k{)}^3}{6}+k^2(0<k<1)$ である。微分して $S^{\prime }(k)=-\frac{(1-k{)}^2}{2}+2k$ となる。$S^{\prime }(k)=0$ は $(1-k{)}^2=4k$ すなわち $k^2-6k+1=0$ を与えるから $k=3\pm 2\sqrt{2}$ である。このうち $0<k<1$ を満たすのは $k=3-2\sqrt{2}$ だけである。また $S^{\prime \prime }(k)=3-k>0(0<k<1)$ だから、この点で $S(k)$ は最小になる。よって求める値は $\boxed{3-2\sqrt{2}}$ である。