名古屋大学 1993年度
文系数学 第3問

解答

$f$ は3次関数であるから，$f^{\prime \prime }(x)$ は1次式である。そこで $f^{\prime \prime }(x)=px+q$ とおく。条件 $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(2)=0$ より $0=f^{\prime }(2)-f^{\prime }(0)={\int }_0^2{f}^{\prime \prime }(x)dx$ である。したがって ${\int }_0^2(px+q)dx=2p+2q=0$ となり，$q=-p$ である。よって $f^{\prime \prime }(x)=p(x-1)$ と書ける。以下 $p=k$ とおく。 $0\leqq x\leqq 2$ では $|x-1|\leqq 1$ であり，特に $x=0$ または $x=2$ で $|x-1|=1$ である。条件 $|f^{\prime \prime }(x)|\leqq 1$ から $|k|\leqq 1$ が従う。

次に $f(2)$ を $f^{\prime \prime }$ で表す。$f^{\prime }(0)=0$ より $f^{\prime }(x)={\int }_0^x{f}^{\prime \prime }(t)dt$ であり，さらに $f(0)=0$ より $f(2)={\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx={\int }_0^2\left({\int }_0^x{f}^{\prime \prime }(t)dt\right)dx$ である。積分の順序を高校範囲の面積の見方で入れ替えると，固定した $t$ に対して $x$ は $t\leqq x\leqq 2$ を動くので $f(2)={\int }_0^2(2-t)f^{\prime \prime }(t)dt$ である。ここに $f^{\prime \prime }(t)=k(t-1)$ を代入して $f(2)=k{\int }_0^2(2-t)(t-1)dt$ となる。積分を計算すると ${\int }_0^2(2-t)(t-1)dt={\int }_0^2(-t^2+3t-2)dt=-\frac{2}{3}$ である。したがって $f(2)=-\frac{2k}{3}$ であり，$|k|\leqq 1$ から $|f(2)|\leqq \frac{2}{3}$ が成り立つ。

別解。$f^{\prime \prime }(x)=k(x-1)$ まで求めたあと，直接2回積分してもよい。$f^{\prime }(0)=0$ より $f^{\prime }(x)=\frac{k}{2}{x}^2-kx$ であり，$f(0)=0$ より $f(x)=\frac{k}{6}{x}^3-\frac{k}{2}{x}^2$ である。したがって $f(2)=\frac{4k}{3}-2k=-\frac{2k}{3}$ となり，同じ評価を得る。