問題
次の3直線(i)，(ii)，(iii)のすべてに垂直な直線が存在するようにを定めよ．
(i) ，
(ii) ，
(iii)
出典：名古屋大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
まず直線(i)，(ii)の両方に垂直で，かつ両方と交わる直線を求める。直線(i)，(ii)上の点をそれぞれパラメータで置き，2点を結ぶベクトルが2本の方向ベクトルと内積0になる条件を連立する。得られた共通垂線は一意であるから，直線(iii)がその直線と交わり，さらに方向ベクトルが共通垂線の方向と直交するように を決める。
解答
直線(i)を と表す。また直線(ii)を と表す。直線(i)，(ii)の方向ベクトルはそれぞれ である。 と を結ぶベクトルを とする。これが ， の両方に垂直であるためには
であればよい。計算すると である。これを解いて を得る。したがって，直線(i)，(ii)の共通垂線は と を通る直線であり，例えば と表せる。
直線(iii)は である。直線(iii)も に垂直でなければならないから が必要である。よって となり， である。
あとはこの値で実際に交わることを確認する。 として を解く。第2，第3成分から なので ， を得る。このとき第1成分も を満たす。したがって のとき，3直線すべてに垂直な直線 が存在する。
以上より である。