問題
実数，に対してとおく．
(1) を求めよ．
(2) の最小値と，それを与える，の値を求めよ．
出典：名古屋大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
被積分関数を展開して， の2次式として整理する。(2)は最小化なので，ただ連立方程式を解くだけでなく，その点が本当に全体の最小を与えることを平方完成で示す。， とずらすと，最小点まわりの式が正の平方の和に分解できる。別解として，まず について平方完成し，残った の1変数2次式を最小化する方法も使える。
解答
(1)
まず二乗を展開する。 である。したがって
よって である。
(2)
， とおく。すなわち ， として(1)の式へ代入すると となる。さらに である。右辺の平方の項はいずれも0以上なので である。
等号が成り立つには が必要十分である。よって ，，すなわち である。したがって最小値は で，それを与える値は である。
別解。 を固定して について平方完成してもよい。(1)の式を と見ると， についての最小は で生じる。このとき
よって のとき最小となり，そのとき である。