名古屋大学 1992年度
文系数学 第1問

解答

(1)

まず $\alpha +\beta =1,\alpha \beta =2$ である。したがって $\alpha ,\beta$ は2次方程式 $z^2-z+2=0$ の2つの解である。よって $z=\alpha ,\beta$ のいずれについても $z^2=z-2$ が成り立つ。 $n$ を正整数とする。$\alpha \beta =2$ であるから $\alpha ,\beta$ は0でない。したがって上の式に $z^{n-1}$ を掛けて $z^{n+1}=z^n-2z^{n-1}$ を得る。ここに $z=\alpha$ と $z=\beta$ をそれぞれ代入すると

である。両式を加えて ${\alpha }^{n+1}+{\beta }^{n+1}={\alpha }^n+{\beta }^n-2({\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1})$ となる。これで(1)が示された。

(2)

$s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおく。$s_0=2$，$s_1=\alpha +\beta =1$ であり，(1)より $s_{n+1}=s_n-2s_{n-1}(n\geqq 1)$ が成り立つ。初めの2項 $s_0,s_1$ は整数であり，この漸化式の右辺は整数から作られるので，すべての $s_n$ は整数である。

次に偶奇を調べる。漸化式から $s_{n+1}-s_n=-2s_{n-1}$ であるから，$s_{n+1}-s_n$ は偶数である。したがって $s_{n+1}$ と $s_n$ は偶奇が同じである。特に $s_1=1$ は奇数なので，$s_2,s_3,\dots$ もすべて奇数である。

よって，すべての正整数 $n$ に対して $\boxed{{\alpha }^n+{\beta }^n\text{ は奇数}}$ である。