問題
円は平面での部分にあり，中心は軸上にあって，曲線とは点で接線を共有しているとする．
(1) この円のの部分にある弧と直線とで囲まれる図形を，軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をとし，軸と直線とのなす角を とする．をとを用いて表せ．
(2) を求め，次にを求めよ．
出典：名古屋大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
曲線の接線の傾きから、円の半径 の方向を決めて を得る。中心を 、半径を とし、 と を点 の座標から表す。体積は、中心 まわりの極座標で円弧と直線 に囲まれた円弧部分を表し、 軸まわりの円筒殻として積分する。最後は から極限を評価する。
解答
(1)
曲線 の における微分係数は である。円はこの曲線と接線を共有するので、半径 はこの接線に垂直である。したがって直線 の傾きは であり、 である。
以下、 と書く。円の中心を 、半径を とする。点 は であり、 が 軸となす角が だから である。よって となる。
中心 を基準にして と表す。弧と直線 で囲まれる部分は、円のうち直線 より右側の円弧部分である。したがって
で表される。
この部分を 軸のまわりに回転させると、面積要素 が半径 の円筒殻を作る。したがって
である。内側から計算すると
となる。ここに を代入して、求める表式は
である。ただし である。
別解として、体積部分は 方向の円筒殻でも確認できる。円の方程式は で、右側の円弧部分では であるから となる。 とおけば、上の による積分と同じ式に戻る。
(2)
すでに得た より、 のとき である。
次に体積の極限を調べる。 では
である。また だから である。したがって
であり、さらに である。よって となる。