名古屋大学 1990年度理系数学第3問解答・解説

問題

円周上に，右まわりの順で3点 $A$ ， $B$ ， $C$ があり，円周に沿ってこれらの点の上を右まわりに進むものとする．1つのサイコロを投げて，偶数の目が出ればその数だけ進み，奇数ならば1つ進む試行をくり返す．初め $A$ にいて， $n$ 回の試行の後で $A$ にいる確率を $p_{n}$ ， $B$ にいる確率を $q_{n}$ ， $C$ にいる確率を $r_{n}$ として，次の問に答えよ．

(1) $p_{n}$ を $r_{n - 1}$ $(n ≧ 2)$ で表せ．

(2) $p_{3 n}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1990年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

一回の試行を、3点上で何個進むかを $3$ で割った余りとして整理する。余り $0$ 、 $1$ 、 $2$ の確率を出せば、(1) は一つ前の位置から $A$ に来る場合分けで得られる。(2) は三回を一組にし、三回後に同じ点へ戻る確率と他の点へ移る確率を直接数えて、 $P_{n} = p_{3 n}$ の一次漸化式にする。

解答

(1)

一回の試行で進む数を $3$ で割った余りで見る。偶数の目のうち、 $6$ は余り $0$ 、 $4$ は余り $1$ 、 $2$ は余り $2$ である。また奇数の目が出たときはすべて $1$ つ進む。したがって

Pr (0 個進む) = \frac{1}{6}, Pr (1 個進む) = \frac{2}{3}, Pr (2 個進む) = \frac{1}{6}

である。 $n$ 回後に $A$ にいるには、 $n - 1)$ 回後に $A$ にいて余り $0$ 進むか、 $B$ にいて余り $2$ 進むか、 $C$ にいて余り $1$ 進めばよい。よって $p_{n} = \frac{1}{6} p_{n - 1} + \frac{1}{6} q_{n - 1} + \frac{2}{3} r_{n - 1}$ である。さらに $p_{n - 1} + q_{n - 1} + r_{n - 1} = 1$ だから $p_{n} = \frac{1}{6} (1 - r_{n - 1}) + \frac{2}{3} r_{n - 1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} r_{n - 1}$ となる。

(2)

三回を一組として考える。三回後に同じ点にいるには、三回の余りの和が $3$ の倍数になればよい。余り $0$ 、 $1$ 、 $2$ の確率をそれぞれ $\frac{1}{6}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{1}{6}$ として数えると、同じ点にいる確率は

(\frac{1}{6})^{3} + (\frac{2}{3})^{3} + (\frac{1}{6})^{3} + 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{12}

である。また、三回後に右隣の点へ行く確率を同様に数えると

3 (\frac{1}{6})^{2} \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6} (\frac{1}{6})^{2} + 3 (\frac{2}{3})^{2} \frac{1}{6} = \frac{7}{24}

であり、左隣の点へ行く確率も同じく $\frac{7}{24}$ である。 $P_{n} = p_{3 n}$ とおく。初めは $A$ にいるので $P_{0} = 1$ である。三回を一組にした推移から、 $A$ に残る確率は $P_{n + 1} = \frac{5}{12} P_{n} + \frac{7}{24} (1 - P_{n}) = \frac{7}{24} + \frac{1}{8} P_{n}$ である。定数解は $\frac{1}{3}$ なので $P_{n + 1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{8} (P_{n} - \frac{1}{3})$ となる。したがって $P_{n} - \frac{1}{3} = (\frac{1}{8})^{n} (1 - \frac{1}{3})$ より $P_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3 \cdot 8 ^{n}}$ である。ゆえに $p_{3 n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3 \cdot 8 ^{n}}$ を得る。

名古屋大学 1990年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1990年度
理系数学第3問