問題
底辺の長さが2，高さが（は定数）の二等辺三角形がある．頂点を平面の半直線 上に，を半直線 上に置き，頂点は直線に関して原点の反対側にくるようにする．三角形を可能な限り動かすとき，が描く図形を求めよ．
出典：名古屋大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
、 とおいて から を得る。原点と直線 の反対側という条件により、実際には 、 として扱う。中点から原点と反対側の単位法線方向へ高さ だけ進んだ点が である。、 によって楕円の式を出し、端点が含まれるかどうかまで確認する。
解答
高さであるから とする。点 、 を とおく。半直線上にあるので 、 であるが、 または では原点 が直線 上に乗り、「直線 に関して反対側」という条件が成り立たない。したがって実際には である。
底辺の長さが であることから より を得る。直線 の方程式は である。原点では左辺が で、 より だから、原点は の側にある。
中点 は である。また、 に垂直で原点と反対側を向く単位ベクトルは である。よって頂点 は すなわち で表される。
ここで とおくと、 は となる。また 、 より である。したがって のとき を代入して を得る。さらに から である。
よって のとき、 の描く図形は楕円 のうち を満たす部分である。左端の二点は、 または が原点に来る極限に対応するため含まれない。 のときは となり、 であるから である。
別解。、 とおくと、 であり、
となる。和と差を二乗して足せば同じ楕円の式が得られ、 の範囲から同じ端点条件も分かる。