名古屋大学 1989年度文系数学第3問解答・解説

問題

(1) $A = (a b b c)$ の形をした実数の行列で， $A^{2} = A$ を満たし零行列 $(0000)$ でも単位行列 $(1001)$ でもないものをすべて求めよ．

(2) 上のような行列 $A$ によって定まる1次変換によって，平面上のすべての点は，原点を通る一定の直線上にうつされることを証明せよ．

出典：名古屋大学 1989年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

まず $A^{2} = A$ を成分比較し、 $b = 0$ と $b \neq = 0$ に分けて整理する。最終的には $a + c = 1$ , $b^{2} = a c$ にまとまるが、端点 $b = 0$ を漏らさないようにする。後半は、任意の点の移る先が2つの列ベクトルの一次結合であることを使い、その2つの列ベクトルが比例するため一定の直線上にのることを示す。

解答

【(1)】

A = (a b b c)

とする。 $A^{2} = A$ を成分で比較すると $a^{2} + b^{2} = a,$ $b (a + c) = b,$ $b^{2} + c^{2} = c$ を得る。

まず $b = 0$ の場合を考える。このとき $a^{2} = a, c^{2} = c$ だから、 $a, c$ はそれぞれ $0$ または $1$ である。零行列でも単位行列でもないものは

(1000), (0001)

である。

次に $b \neq = 0$ の場合を考える。 $b (a + c) = b$ より $a + c = 1$ である。また $b^{2} = a - a^{2} = a (1 - a) = a c$ である。逆に、 $a + c = 1$ , $b^{2} = a c$ が成り立てば $a^{2} + b^{2} = a^{2} + a c = a (a + c) = a$ であり、同様に $b^{2} + c^{2} = c$ も成り立ち、 $b (a + c) = b$ も満たす。したがって $A^{2} = A$ である。

以上をまとめると、求める行列は

A = (a b b 1 - a), b^{2} = a (1 - a), 0 ≦ a ≦ 1

である。この表示には $b = 0$ の2つの端点も含まれている。

【(2)】任意の点 $(x, y)$ は、行列 $A$ により

(x y) \mapsto x (a b) + y (b c)

へ移る。ここで $c = 1 - a$ である。 $0 < a < 1$ の場合、 $b^{2} = a c$ かつ $b \neq = 0$ なので

(b c) = \frac{b}{a} (a b)

となり、2つの列ベクトルは比例する。したがって任意の点の移る先は、原点を通り $(a, b)$ の方向をもつ一定の直線上にある。

端点の場合、 $a = 1, b = 0, c = 0$ では

A = (1000)

であり、すべての点は $x$ 軸上へ移る。また $a = 0, b = 0, c = 1$ では

A = (0001)

であり、すべての点は $y$ 軸上へ移る。いずれも原点を通る一定の直線上にある。

別解。(1)の行列は、 $0 ≦ a ≦ 1$ として $a = cos^{2} θ$ , $b = sin θ cos θ$ の形にも表せる。このとき移る先は常に $(cos θ, sin θ)$ 方向の直線上にあり、端点も座標軸の場合として含まれる。

名古屋大学 1989年度文系数学 第3問

問題

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文系数学第3問