名古屋大学 1989年度
文系数学 第1問

解答

【(1)】 $f(x)$ は3次式で、$x=0$ と $x=1$ で極値をとる。したがって導関数は $f^{\prime }(x)=kx(x-1)$ とおける。$x<0$ で $f^{\prime }(x)>0$、$0<x<1$ で $f^{\prime }(x)<0$、$x>1$ で $f^{\prime }(x)>0$ となる必要があるから、$k>0$ である。

積分すると $f(x)=k\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)+C$ である。$x=0$ で極大値 $3$ をとるので $f(0)=C=3$ である。また $x=1$ で極小値 $-1$ をとるので $k\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)+3=-1$ である。すなわち $-\frac{k}{6}=-4$ だから $k=24$ である。よって $f(x)=8x^3-12x^2+3$ である。

増減は $f^{\prime }(x)=24x(x-1)$ より、$x<0$ で増加、$0<x<1$ で減少、$x>1$ で増加である。したがってグラフは $x=0$ で極大値 $3$、$x=1$ で極小値 $-1$ をとる3次曲線である。また $x\to -\infty$ で $f(x)\to -\infty$、$x\to \infty$ で $f(x)\to \infty$ となるので、$x$ 軸とは負の側で1回、$0,1$ で1回、$1,\infty )$ で1回交わる。

【(2)】3つの解を

とする。方程式 $f(x)=0$ を $x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{3}{8}=0$ と書くと、$x$ の係数は $0$ である。解と係数の関係より $(-\alpha )\beta +(-\alpha )\gamma +\beta \gamma =0$ である。すなわち $\beta \gamma =\alpha (\beta +\gamma )$ であるから $\alpha =\frac{\beta \gamma }{\beta +\gamma }$ である。ここで $\gamma >0$, $\beta +\gamma >\gamma$ なので $\frac{\gamma }{\beta +\gamma }<1$ である。したがって $\alpha =\beta \cdot \frac{\gamma }{\beta +\gamma }<\beta$ が成り立つ。

別解。正の小さい方の解 $\beta$ に対して $f(\beta )=0$ である。したがって $8{\beta }^3-12{\beta }^2+3=0$ であり、これを用いると $f(-\beta )=-8{\beta }^3-12{\beta }^2+3=-16{\beta }^3<0$ となる。一方、$f(x)$ は $x<0$ で増加し、負の解は $-\alpha$ ただ1つである。増加する区間で $f(-\beta )<0=f(-\alpha )$ だから $-\beta <-\alpha$、すなわち $\alpha <\beta$ である。