名古屋大学 1988年度
文系数学 第3問

解答

(1)

$f(x)=x^3+ax+b$ とし、$g(x)=f(x)+x=x^3+(a+1)x+b$ とおく。

点 $P$ における接線が $y=-x$ であるから、点 $P$ は直線 $y=-x$ 上にあり、さらに接線の傾きは $-1$ である。したがって $g(p)=0,g^{\prime }(p)=f^{\prime }(p)+1=0$ である。

また、点 $Q$ における接線は点 $Q$ において直線 $y=-x$ に直交するので、点 $Q$ も直線 $y=-x$ 上にある。よって $g(q)=0$ である。

以上より、3次式 $g(x)$ は $x=p$ を重根にもち、さらに $x=q$ を根にもつ。$P,Q$ は相異なるから $p\ne q$ であり、最高次の係数が1であることから $g(x)=(x-p{)}^2(x-q)$ と書ける。ところが $g(x)=x^3+(a+1)x+b$ には $x^2$ の項がない。したがって根の和より $2p+q=0$ であり、$q=-2p$ である。

(2)

点 $Q$ における接線は $y=-x$ に直交するので、傾きは $1$ である。したがって $f^{\prime }(q)=1$ であり、$g^{\prime }(q)=f^{\prime }(q)+1=2$ である。

(1)より $q=-2p$ なので $g(x)=(x-p{)}^2(x+2p)$ である。これを微分して $x=-2p$ を代入すると $g^{\prime }(-2p)=9p^2$ となる。よって $9p^2=2$ であるから $p=\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$ である。

また $(x-p{)}^2(x+2p)=x^3-3p^{2}x+2p^3$ である。これと $g(x)=x^3+(a+1)x+b$ を比較すると $a+1=-3p^2,b=2p^3$ である。$p^2=\frac{2}{9}$ より $a=-\frac{5}{3}$ であり、$p=\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$ から $b=\pm \frac{4\sqrt{2}}{27}$ である。したがって $a=-\frac{5}{3},b=\pm \frac{4\sqrt{2}}{27}$ である。

別解。$P,Q$ がともに $y=-x$ 上にあることから $p^3+(a+1)p+b=0,q^3+(a+1)q+b=0$ である。差を取ると $(p-q)\{p^2+pq+q^2+a+1\}=0$ であり、$p\ne q$ だから $p^2+pq+q^2+a+1=0$ である。一方、接線の傾きから $3p^2+a=-1,3q^2+a=1$ である。$a+1=-3p^2$ を代入すると $q^2+pq-2p^2=0$ となり、$(q-p)(q+2p)=0$ である。$q\ne p$ なので、やはり $q=-2p$ を得る。