名古屋大学 1988年度文系数学第2問解答・解説

問題

1辺の長さ1， $∠ A = ∠ C = 120^{\circ}$ のひし形 $A B C D$ がある． $a$ ， $b$ を $0 < a ≦ \frac{3}{2}$ ， $0 < b ≦ 1$ の数とし，ひし形 $A B C D$ に含まれる次の4つのおうぎ形 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ を考える．それらは中心 $A$ ，半径 $a$ ，中心角 $120^{\circ}$ のおうぎ形 $P_{1}$ ，中心 $C$ ，半径 $a$ ，中心角 $120^{\circ}$ のおうぎ形 $P_{2}$ ，中心 $B$ ，半径 $b$ ，中心角 $60^{\circ}$ のおうぎ形 $P_{3}$ ，中心 $D$ ，半径 $b$ ，中心角 $60^{\circ}$ のおうぎ形 $P_{4}$ である． $P_{1} \cup P_{2} \cup P_{3} \cup P_{4}$ がひし形 $A B C D$ と一致するもののうち，これら4つのおうぎ形の面積の和が最小となる $a$ ， $b$ の値を求めよ．

出典：名古屋大学 1988年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

対角線が座標軸にのるようにひし形を置き、対称性から第1象限の三角形 $O C B$ だけを調べる。面積の和は $\frac{π}{3} (2 a^{2} + b^{2})$ なので、まず三角形の辺 $O C$ が覆われるための必要条件から $2 a^{2} + b^{2}$ の下限を出す。下限を与える $a, b$ については、水平断面ごとに中心 $B$ のおうぎ形と中心 $C$ のおうぎ形で三角形全体が覆われることを確認する。

解答

ひし形を

A = (- \frac{1}{2}, 0), C = (\frac{1}{2}, 0), B = (0, \frac{3}{2}), D = (0, - \frac{3}{2})

とおく。対称性により、第1象限の三角形 $O C B$ が、中心 $C$ 半径 $a$ の部分と中心 $B$ 半径 $b$ の部分で覆われる条件を調べればよい。

4つのおうぎ形の面積の和は

2 \cdot \frac{120}{360} π a^{2} + 2 \cdot \frac{60}{360} π b^{2} = \frac{π}{3} (2 a^{2} + b^{2})

である。したがって $2 a^{2} + b^{2}$ を最小にすればよい。

まず必要条件を出す。辺 $O C$ 上の点を考える。中心 $C$ の半径 $a$ の部分は、辺 $O C$ のうち $C$ から長さ $a$ 以内の部分しか覆えない。一方、中心 $B$ から辺 $O C$ への距離は $\frac{3}{2}$ であるから、中心 $B$ 半径 $b$ の部分が辺 $O C$ 上で覆える長さは $b^{2} - \frac{3}{4}$ である。ただしこの式が意味をもつには $b ≧ \frac{3}{2}$ が必要で、もしそうでなければ点 $O$ を中心 $B$ 側から覆えない。

よって辺 $O C$ 全体を覆うためには、少なくとも $a + b^{2} - \frac{3}{4} ≧ \frac{1}{2}$ が必要である。特に最小を与える可能性がある場合には $b^{2} ≧ \frac{3}{4} + (\frac{1}{2} - a)^{2}$ とみてよい。したがって $2 a^{2} + b^{2} ≧ 2 a^{2} + \frac{3}{4} + (\frac{1}{2} - a)^{2} = 3 a^{2} - a + 1$ である。右辺は $3 a^{2} - a + 1 = 3 (a - \frac{1}{6})^{2} + \frac{11}{12}$ だから $2 a^{2} + b^{2} ≧ \frac{11}{12}$ である。

等号候補は

a = \frac{1}{6}, b^{2} = \frac{3}{4} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6})^{2} = \frac{31}{36}

すなわち $a = \frac{1}{6}, b = \frac{31}{6}$ である。

このとき本当に三角形 $O C B$ が覆われることを確認する。三角形 $O C B$ の高さ $y$ の水平断面は

0 ≦ x ≦ \frac{1}{2} - \frac{y}{3} (0 ≦ y ≦ \frac{3}{2})

である。

まず $0 ≦ y ≦ \frac{1}{6}$ とする。中心 $C$ 半径 $\frac{1}{6}$ の部分がこの水平線上で覆う左端は $x = \frac{1}{2} - \frac{1}{36} - y^{2}$ である。この点まで中心 $B$ 半径 $\frac{31}{6}$ の部分が届けばよい。その点と $B$ との距離の2乗は

(\frac{1}{2} - \frac{1}{36} - y^{2})^{2} + (\frac{3}{2} - y)^{2} = \frac{37}{36} - \frac{1}{36} - y^{2} - 3 y

である。ここで $\frac{1}{36} - y^{2} + 3 y ≧ \frac{1}{6}$ なので、この距離の2乗は高々 $\frac{37}{36} - \frac{1}{6} = \frac{31}{36}$ である。したがって隙間はない。

次に $\frac{1}{6} ≦ y ≦ \frac{3}{2}$ とする。このとき水平断面の右端は辺 $B C$ 上にあり、中心 $B$ からの距離は $y = \frac{1}{6}$ のときでも $\frac{31}{6}$ 以下であり、上へ行くほど短くなる。よってこの範囲の水平断面は中心 $B$ 半径 $\frac{31}{6}$ の部分だけで覆われる。

以上より第1象限の三角形 $O C B$ は覆われる。対称性によりひし形全体も4つのおうぎ形で覆われる。したがって面積の和が最小となるのは $a = \frac{1}{6}, b = \frac{31}{6}$ である。なお、そのときの最小面積は $\frac{π}{3} \cdot \frac{11}{12} = \frac{11 π}{36}$ である。

名古屋大学 1988年度文系数学 第2問

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