問題
，はを満たす2次の正方行列とする．ただし，は零行列，，の各成分は実数とする．このとき，次の(1)，(2)を証明せよ．
(1)
(2) , ならば，である．
ただし，はの行と列とを入れ換えた行列，はの行と列とを入れ換えた行列である．すなわち，とするとき，である．
出典：名古屋大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
とおき、 に直して非可換な積の順序を保ったまま展開する。与式は と同値になるので、(1)の3次式に現れる 、 をこの関係で置き換えて消去する。(2)では が転置しても変わらないとき も同じ性質をもつこと、また は転置で符号が反対になることを使い、最後は2次対称行列 の成分から を示す。
解答
(1)
とおく。すなわち である。与えられた条件に代入すると である。左辺を順序に注意して展開すると であるから を得る。
次に、示すべき式を で表す。非可換なので通常の二項展開のようにまとめず、順序を保って計算すると
である。ここで より であり、また である。さらに なので である。これらを代入すると
となる。したがって である。
(2)
、 とする。 とおくと である。また (1) の初めで得たように である。
左辺 は転置しても変わらない。一方、、 だから である。したがって は転置しても変わらず、同時に転置で符号が反対になる。よって である。
ここで の成分を 、、、 と書く。 の左上成分と右下成分を見ると である。実数の平方の和が0なので である。したがって 、すなわち である。