問題
1辺の長さが1の正方形の頂点を時計まわりに，，，とする．硬貨を投げて，表ならば2，裏ならば1，時計まわりに周上を動く運動を考える．
(1) から出発して硬貨を3回投げたとき通りの動き方があるが，そのうち最後ににいる場合は何通りあるか．
(2) 3回のかわりに10回のときは何通りか．
出典：名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
表が出た回数を とすると、表は2だけ、裏は1だけ進むので、 回後の全移動数は である。正方形の頂点は4つなので、最後に にいる条件はこの移動数が4の倍数になることである。(1)は 、(2)は として、条件を満たす を二項係数で数える。
解答
(1)
表の出た回数を とする。3回投げたとき、裏の回数は であるから、全移動数は である。最後に にいるためには、出発点から4の倍数だけ進めばよい。したがって が必要十分である。 より、これを満たすのは だけである。
表が1回出る動き方は、3回のうちどの1回を表にするかで決まるので 通りである。よって答えは 通り、すなわち である。
(2)
10回投げるときも同様に、表の回数を とすると全移動数は である。最後に にいる条件は であり、 だから である。 の範囲でこれは を与える。
したがって求める動き方の数は
通りである。よって答えは 通り、すなわち である。