名古屋大学 1987年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ を実数で $b ≧ 0$ とする．関数 $f (x) = a x - b x^{2}$ が次の2つの条件を満たすとする．

(i) $0 ≦ x ≦ 1$ に対して $f (x) ≧ 0$

(ii) $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1$

このとき， $0 ≦ x ≦ 1$ において $y = f (x)$ と $x$ 軸の間にある部分を $x$ 軸のまわりに回転させて得られる立体の体積 $V$ はどのような範囲にあるか．

出典：名古屋大学 1987年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

積分条件からまず $a$ を $b$ で表し、条件 $f (x) ≧ 0$ を $b$ の範囲に直す。 $b ≧ 0$ のため $a - b x$ は $x$ について減少するので、非負条件は端点 $x = 1$ を見ればよい。体積は $V = π \int_{0}^{1} f (x)^{2} d x$ であり、 $a$ を消去すると $b$ の2次式になる。最後は $0 ≦ b ≦ 6$ でその2次式の最小値と最大値を調べる。

解答

条件 (ii) より $\int_{0}^{1} (a x - b x^{2}) d x = \frac{a}{2} - \frac{b}{3} = 1$ である。したがって $a = 2 + \frac{2 b}{3}$ と表せる。

次に条件 (i) を調べる。 $x = 0$ では $f (0) = 0$ である。 $0 < x ≦ 1$ では $f (x) = x (a - b x)$ であり、 $x > 0$ だから $a - b x ≧ 0$ が必要十分である。ここで $b ≧ 0$ より $a - b x$ は $x$ について減少するので、区間 $[0, 1]$ で最も小さいのは $x = 1$ のときである。よって $a - b ≧ 0$ が条件である。 $a = 2 + \frac{2 b}{3}$ を代入すると $2 + \frac{2 b}{3} - b = 2 - \frac{b}{3} ≧ 0$ となる。はじめから $b ≧ 0$ であるから $0 ≦ b ≦ 6$ である。

回転体の体積は $V = π \int_{0}^{1} (a x - b x^{2})^{2} d x$ である。被積分関数を展開して $(a x - b x^{2})^{2} = a^{2} x^{2} - 2 ab x^{3} + b^{2} x^{4}$ だから $\frac{V}{π} = \frac{a ^{2}}{3} - \frac{ab}{2} + \frac{b ^{2}}{5}$ である。ここに $a = 2 + \frac{2 b}{3}$ を代入すると

\frac{V}{π} = \frac{1}{3} (2 + \frac{2 b}{3})^{2} - \frac{b}{2} (2 + \frac{2 b}{3}) + \frac{b ^{2}}{5} = \frac{4}{3} - \frac{b}{9} + \frac{2 b ^{2}}{135} = \frac{2}{135} (b - \frac{15}{4})^{2} + \frac{9}{8} .

したがって $0 ≦ b ≦ 6$ における最小値は $b = \frac{15}{4}$ のとき $\frac{V}{π} = \frac{9}{8}$ である。

一方、この2次式は上に開くので、閉区間での最大値は端点で調べればよい。端点では

b = 0 のとき \frac{V}{π} = \frac{4}{3}, b = 6 のとき \frac{V}{π} = \frac{6}{5}

であり、大きいのは $\frac{4}{3}$ である。よって求める範囲は $\frac{9 π}{8} ≦ V ≦ \frac{4 π}{3}$ である。

名古屋大学 1987年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

名古屋大学 1987年度
文系数学第1問