問題
空間で点，，，，，，，を頂点とする立方体をとする．の点から平面へ垂線を引き，その平面との交点をとする．がを動くとき，の動く範囲の面積を求めよ．
出典：名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
は立方体の平面 への正射影である。平面内に直交する2つの単位方向を取り、射影後の点を平面上の座標 で表すと、立方体の8頂点の射影から六角形の頂点が読み取れる。あとはその六角形の面積を座標平面の多角形の面積公式で求める。別解として、法線方向から見える3つの面の射影面積を足す方法も使える。
解答
平面 の法線方向は である。平面内の直交する単位方向として
を取る。点 をこの平面へ垂直に下ろしても、 方向の成分は変わらない。したがって射影された点の平面上の座標は で表される。
立方体の頂点をこの座標で見ると、 と はどちらも に移る。他の6点は
である。これら6点が の境界をなす六角形の頂点である。
ここで とおく。六角形の頂点は順に
である。座標平面の多角形の面積公式を用いると、符号付き和の各部分がすべて となるので、面積は である。したがって である。
別解。立方体を平面 に垂直な方向から見ると、境界を作るのは互いに平行でない3方向の面である。各面の面積は1であり、その面の法線と のなす角の余弦の絶対値はいずれも である。したがって3方向からの寄与を足して と求めてもよい。