名古屋大学 1986年度文系数学第3問解答・解説

問題

$x y z$ 空間内の点 $(0, \frac{1}{2}, 0)$ を通り $z$ 軸に平行な直線を $l$ とする．3点 $(1, 1, 0)$ ， $(1, 0, 1)$ ， $(1, 0, 0)$ を頂点とする三角形の板を， $l$ を軸として1回転して得られる回転体の体積を求めよ．

出典：名古屋大学 1986年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

三角形の板は平面 $x = 1$ 上にあるので，高さ $z$ で水平に切る。切り口は $0 ≦ y ≦ 1 - z$ の線分で，回転軸は $x = 0, y = 1/2$ である。線分が $y = 1/2$ を含むかどうかで断面の内半径が変わるため， $0 ≦ z ≦ 1/2$ と $1/2 ≦ z ≦ 1$ に分けて輪の面積を積分する。

解答

三角形の板は三点 $(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0)$ を頂点としているので，平面 $x = 1$ 上にある。 $y z$ 平面で見ると，対応する三角形は $y ≧ 0, z ≧ 0, y + z ≦ 1$ で表される。

高さ $z$ で水平に切ると，板上の線分は $0 ≦ y ≦ 1 - z$ である。また回転軸 $l$ は $x = 0, y = \frac{1}{2}$ を満たす $z$ 軸に平行な直線である。したがって点 $(1, y, z)$ から軸までの距離の二乗は $1 + (y - \frac{1}{2})^{2}$ である。 $0 ≦ z ≦ \frac{1}{2}$ のとき，線分 $0 ≦ y ≦ 1 - z$ は $y = 1/2$ を含む。このとき内半径は $1$ ，外半径は $y = 0$ で生じて $1 + (0 - \frac{1}{2})^{2} = \frac{5}{2}$ である。よって断面積は $π {(\frac{5}{2})^{2} - 1^{2}} = \frac{π}{4}$ である。 $\frac{1}{2} ≦ z ≦ 1$ のとき，線分全体が $y ≦ 1/2$ 側にある。外半径はやはり $y = 0$ で $\frac{5}{2}$ であり，内半径は右端 $y = 1 - z$ で

1 + (1 - z - \frac{1}{2})^{2} = 1 + (z - \frac{1}{2})^{2}

である。したがって断面積は

π {\frac{5}{4} - 1 - (z - \frac{1}{2})^{2}} = π {\frac{1}{4} - (z - \frac{1}{2})^{2}}

となる。

よって求める体積 $V$ は

V = \int_{0}^{1/2} \frac{π}{4} d z + \int_{1/2}^{1} π {\frac{1}{4} - (z - \frac{1}{2})^{2}} d z

である。後半で $u = z - 1/2$ とおくと

\int_{1/2}^{1} π {\frac{1}{4} - (z - \frac{1}{2})^{2}} d z = π \int_{0}^{1/2} (\frac{1}{4} - u^{2}) d u = \frac{π}{12}

である。また前半は $π /8$ だから $V = \frac{π}{8} + \frac{π}{12} = \frac{5 π}{24}$ である。

名古屋大学 1986年度文系数学 第3問

問題

方針

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名古屋大学 1986年度
文系数学第3問