名古屋大学 1986年度文系数学第1問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対して $(1221)^{n} = (a_{n} b_{n} c_{n} d_{n})$ とおくとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1) $a_{n} = d_{n}$ ， $b_{n} = c_{n}$ を示せ．

(2) $a_{n}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1986年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

まず $n = 1$ で現れる「対角成分が等しく，対角でない成分も等しい形」が，右から与えられた行列を掛けても保たれることを確かめる。これで $a_{n} = d_{n}$ ， $b_{n} = c_{n}$ が帰納的に示せる。(2)では $a_{n}$ と $b_{n}$ の漸化式を作り，和 $u_{n} = a_{n} + b_{n}$ と差 $v_{n} = a_{n} - b_{n}$ に分けると，それぞれ公比 $3$ と $- 1$ の等比数列になる。最後に $a_{n} = (u_{n} + v_{n}) /2$ へ戻す。

解答

(1)

まず

(a b b a) (1221) = (a + 2 b 2 a + b 2 a + b a + 2 b)

である。右辺も対角成分が等しく，対角でない成分も等しい形になっている。 $n = 1$ のとき

(1221) = (a_{1} b_{1} b_{1} a_{1})

であり，たしかに $a_{1} = d_{1}$ ， $b_{1} = c_{1}$ である。ある $n$ で

(1221)^{n} = (a_{n} b_{n} b_{n} a_{n})

と書けるなら，上の計算により $n + 1$ でも同じ形が保たれる。したがって，すべての自然数 $n$ について $a_{n} = d_{n}, b_{n} = c_{n}$ である。

(2)

(1)より

(1221)^{n} = (a_{n} b_{n} b_{n} a_{n})

とおける。この両辺に右から $(1221)$ を掛けると

(a_{n + 1} b_{n + 1} b_{n + 1} a_{n + 1}) = (a_{n} + 2 b_{n} 2 a_{n} + b_{n} 2 a_{n} + b_{n} a_{n} + 2 b_{n})

であるから $a_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}, b_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n}$ を得る。

ここで $u_{n} = a_{n} + b_{n}, v_{n} = a_{n} - b_{n}$ とおく。すると $u_{n + 1} = a_{n + 1} + b_{n + 1} = 3 (a_{n} + b_{n}) = 3 u_{n}$ であり，また $v_{n + 1} = a_{n + 1} - b_{n + 1} = - (a_{n} - b_{n}) = - v_{n}$ である。初期値は $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 2$ なので $u_{1} = 3, v_{1} = - 1$ である。したがって $u_{n} = 3^{n}, v_{n} = (- 1)^{n}$ となる。

最後に $a_{n}$ へ戻すと $a_{n} = \frac{u _{n} + v _{n}}{2} = \frac{3 ^{n} + ( - 1 ) ^{n}}{2}$ である。

別解。成分が同じ向き $1, 1$ のベクトルにこの行列を掛けると各成分は $3$ 倍になり，成分の和が $0$ である向き $1, - 1$ のベクトルに掛けると符号が反対になる。したがって， $n$ 回掛けたときには，和の方向は $3^{n}$ 倍，差の方向は $(- 1)^{n}$ 倍になる。これは上の $u_{n}$ ， $v_{n}$ の議論をベクトルで見たもので，同じく $a_{n} = (3^{n} + (- 1)^{n}) /2$ を得る。

名古屋大学 1986年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1986年度
文系数学第1問