問題
だ円と定点がある．ただしとする．点を通る直線とこのだ円の交点を，とし，線分の中点をとする．を動かすときにの描く曲線（軌跡）を求めよ．
出典：名古屋大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
点 を通る直線を傾き で と表す。楕円に代入すると交点の 座標を解にもつ2次方程式が得られるので，解の和を使って中点の 座標を求める。 も書き， を消去する。最後に縦の直線の場合を別に確認して軌跡に含める。
解答
点 を通る直線のうち，まず縦でないものを考える。傾きを として とおく。この直線と楕円 との交点の 座標を とする。
代入すると である。整理して を得る。したがって解と係数の関係より である。
中点を とすると である。また，2つの交点は同じ直線上にあるから，中点も同じ直線上にある。したがって である。上の を用いると なので である。
ここで であるから を得る。よって である。これを整理すると すなわち である。
逆に，この曲線上で の点は，上の式からある実数 によって表される。さらに縦の直線 の場合，交点の中点は であり，これは を満たす。したがって求める軌跡は である。