名古屋大学 1985年度
文系数学 第1問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 関数、図形と方程式
- 解法
- 微分による最大最小、置換、計算整理
- 難易度
- 4 / 10 計算量 4 / 10 目安 12〜18分
問題
xy平面上で，点Pが，曲線y=x2−4上を点B(−2,0)から点A(2,0)まで動くとき，距離PAを最大にする点Pのx座標を求めよ．
出典：名古屋大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
点 P を (x,x2−4) と置き，距離そのものではなく PA2 を最大化する。端点 B,A も候補に含めるため，−2≦x≦2 を明示する。t=2−x と置くと式が t2{1+(4−t)2} になり，微分後の符号変化と端点値の比較で最大点を決める。
解答
点 P を P=(x,x2−4) とおく。点 P は B(−2,0) から A(2,0) まで動くので −2≦x≦2 である。
距離 PA を最大にするには，その2乗 PA2 を最大にすればよい。点 A=(2,0) であるから
PA2=(x−2)2+(x2−4)2=(x−2)2{1+(x+2)2}
である。
ここで t=2−x とおくと，−2≦x≦2 より 0≦t≦4 である。また x+2=4−t なので PA2=t2{1+(4−t)2} となる。これを F(t)=t2{1+(4−t)2} とおく。微分すると
F′(t)=2t{1+(4−t)2}−2t2(4−t)=2t(2t2−12t+17)
である。したがって 0<t<4 の候補は 2t2−12t+17=0 より t=3±22 である。
符号を見ると，F(t) は 0<t<3−2/2 で増加し，3−2/2<t<3+2/2 で減少し，その後また増加する。よって t=3−2/2 は極大，t=3+2/2 は極小である。
端点も比較する。 F(0)=0,F(4)=16 であり，F(3−22)=471+22>16 である。したがって最大は t=3−22 のときである。よって x=2−t=−1+22 となる。
求める x 座標は −1+22 である。
