問題
1辺の長さが1cmの正3角形がある．動点，，が，それぞれ，，を同時に出発して毎秒1cm，2cm，3cmの速さで，この3角形の周上をの向きにまわっている．出発してから秒後の，，を頂点とする3角形の面積を とする．
(1) を示せ．
(2) の範囲で，となるを求めよ．
出典：名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(b)
方針
周の長さが3なので、3秒後に3点とも出発点へ戻る。面積が0になる時刻は、座標を置いて各点の辺上の位置を区間ごとに表し、符号付き面積の2倍 が0になるところを調べる。
解答
(1)
正三角形の周の長さは である。点 の速さはそれぞれ なので、3秒間で進む距離は であり、いずれも周の長さの整数倍である。したがって3秒後には3点とも同じ位置に戻るので である。
(2)
座標を とする。周上の位置を、 から に沿って測った道のりで表し、長さ を法として考える。
時刻 における道のりは をそれぞれ で割った余りで表される。3点の符号付き面積の2倍を とすると、 で区間を分けて次のようになる。
実際には、各区間で がそれぞれどの辺上にあるかが固定されるので、座標を代入して行列式
を計算すればよい。面積は である。
この表から、 となるのは および である。後者では3点がすべて辺 上に並ぶため、面積が常に になる。
したがって である。