名古屋大学 1983年度文系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面上で，原点を1つの頂点とし $y ≧ 0$ の部分にある正方形のうち，1次変換

(x^{'} y^{'}) = (7335) (x y)

によって長方形にうつされるものを求めよ．

出典：名古屋大学 1983年度前期日程第2次学力試験文系第2問

正方形の隣り合う辺の方向を、互いに垂直な単位ベクトル $u, v$ とする。変換後が長方形になる条件は $(M u) \cdot (M v) = 0$ である。方向角を $θ$ と置いてこの内積を計算し、 $tan 2 θ = 3$ から辺の方向を決める。

変換を表す行列を

M = (7335)

とする。正方形の隣り合う辺の方向を $u = (cos θ, sin θ), v = (- sin θ, cos θ)$ とおく。

変換後が長方形になるためには、変換後の隣り合う辺が垂直であればよい。すなわち $(M u) \cdot (M v) = 0$ である。これは $u^{T} M^{2} v = 0$ と同じである。

計算すると

M^{2} = (5212312328)

である。したがって $u^{T} M^{2} v = 123 cos 2 θ - 12 sin 2 θ$ となる。よって $tan 2 θ = 3$ であり、 $θ = \frac{π}{6} または \frac{2 π}{3}$ の方向が得られる。

したがって、正方形の隣り合う辺は $y = \frac{1}{3} x, y = - 3 x$ に平行でなければならない。

原点を1つの頂点とし、 $y ≧ 0$ の部分にあるものを取るので、任意の一辺の長さ $λ > 0$ に対して、原点から

λ (\frac{3}{2}, \frac{1}{2}), λ (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})

の2方向へ辺を伸ばした正方形が求めるものである。