名古屋大学 1983年度文系数学第3問(a) 解答・解説

問題

曲線 $y = x^{2}$ $(x ≧ 0)$ の上にあって，定点 $A (0, \frac{3}{4})$ に最も近い点 $P$ を求めよ．次に，この曲線と線分 $A P$ および $y$ 軸とによって囲まれる部分の面積を求めよ．

出典：名古屋大学 1983年度前期日程第2次学力試験文系第3問(a)

方針

$P = (x, x^{2})$ と置き、距離の2乗を $x$ の関数として最小化する。 $a = 3/4$ の固定問題なので内部の臨界点 $x = 1/2$ と端点を比較する。面積は直線 $A P$ と放物線 $y = x^{2}$ の差を $0 ≦ x ≦ 1/2$ で積分する。

解答

点 $P$ を $P = (x, x^{2}) (x ≧ 0)$ とおく。点 $A = (0, \frac{3}{4})$ との距離の2乗は $D (x) = x^{2} + (x^{2} - \frac{3}{4})^{2}$ である。

微分すると $D^{'} (x) = 2 x + 4 x (x^{2} - \frac{3}{4}) = 2 x (2 x^{2} - \frac{1}{2})$ である。したがって $x ≧ 0$ での内部の候補は $x = \frac{1}{2}$ である。端点では $D (0) = \frac{9}{16}$ であり、 $D (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ なので、最小となるのは $x = 1/2$ のときである。よって $P = (\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ である。

直線 $A P$ の傾きは $\frac{1/4 - 3/4}{1/2 - 0} = - 1$ なので $y = \frac{3}{4} - x$ である。囲まれる部分では直線が放物線の上にあるから、面積は $\int_{0}^{1/2} (\frac{3}{4} - x - x^{2}) d x$ である。計算して

[\frac{3}{4} x - \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1/2} = \frac{5}{24}

である。

名古屋大学 1983年度文系数学 第3問(a)

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名古屋大学 1983年度
文系数学第3問(a)